Метод понижения порядка

[randy]

Не могу понять, это уравнение однородное или нет?
$x^3y''+x^2y'=1$

[Ms-dos4]

Нет, здесь же есть "правая часть" $\[f(x) = \frac{1}{{{x^3}}}\]$. Т.е. если видите, что у вас есть слагаемое, которое не содержит в себе неизв. функцию или её производные - то это и есть "правая часть".

[randy]

А тогда почему это уравнение однородное?
$1+(y')^2=2xy'y''$

[Ms-dos4]

randy
Таак, что вы подразумеваете под однородным уравнением? Я имел ввиду неоднородное ЛИНЕЙНОЕ ДУ

[randy]

однородное значит то, в котором правая часть равна нулю, то есть решается разделением переменных. странно, что то уравнение которое я дал (второе) решается именно разделением переменных. в нем же правая часть не равна нулю, а значит нужно искать частное и общее решение

[Ms-dos4]

randy

Цитата:

в котором правая часть равна нулю, то есть решается разделением переменных.

Вот это бред. ЛИНЕЙНОЕ уравнение второго и выше порядка, несмотря на однородность, разделением переменных не решается.
Вы неверно понимаете однородность. А второе уравнение - которое вы привели, вообще к однородным не относится ни в каком смысле.

[ИСН]

randy в сообщении #731709 писал(а):

однородное значит то, в котором правая часть равна нулю

В любом уравнении можно перенести всё в левую часть - и правая будет равна нулю. Отсюда заключаем, что это определение не очень продуктивно, примерно как "Слон - это серое животное, которое идёт на восток."
По-моему, слово "однородное" применительно к диффурам имеет как минимум четыре разных смысла.

-- Вс, 2013-06-02, 20:47 --

В одном из них Ваше второе уравнение однородно. А первое - ни в каком.

[Legioner93]

Делением на $x$ приводим уравнение к почти квазиоднородному (правая часть не ноль) $x^2 y'' + xy' = \frac{1}{x}$.
После чего заменяем $x=e^t$ и получаем $y''_{tt}=e^{-t}$

UPD: Соврал, уравнения типа $\sum\limits_{k=0}^{n}a_k x^k y^{(k)}=f(x)$ называются уравнениями Эйлера, здесь как раз оно. Заменой $x=e^t$ приводятся к линейному дифференциальному уравнению с постоянными коэффициентами.

[Ms-dos4]

Линейным однородным уравнением называется уравнение вида
$\[\sum\limits_{k = 0}^n {{p_k}(x) \cdot {y^{(k)}}} = 0\]$

Ещё однородными (в другом смысле!) называют уравнения вида $\[y' = f(\frac{y}{x})\]$

ИСН

Цитата:

В одном из них Ваше второе уравнение однородно. А первое - ни в каком.

Там скорее обобщенная однородность

Legioner93
Да в том уравнении проще тупо подобрать частное решение, которое видно сразу. Хотя дело "вкуса"...

[ИСН]

Ms-dos4, Вы приводите описания двух частных случаев однородности в разных смыслах, не подчёркивая жирной чертой, что это разные смыслы. Вам-то это естественно, а у человека непривычного в голове что должно происходить?

[Ms-dos4]

ИСН
Т.е. как это не подчёркивая? Я и хотел сказать, что смысл бывает разный
---
Хотя да, согласен написал кривовато, поправил немного

[randy]

Ms-dos4 в сообщении #731711 писал(а):

randy

Цитата:

в котором правая часть равна нулю, то есть решается разделением переменных.

Вот это бред. ЛИНЕЙНОЕ уравнение второго и выше порядка, несмотря на однородность, разделением переменных не решается.

естественно, сначала делают замену, а потом решают.
вводят замену $y'=z, y''=z'$
соответственно, получается $1+z^2=2xzz'$
а под правой частью, равной 0, традиционно в ДУ понимают что то вроде $f(x,y',y'',...)=0$
то есть если рассматривать полученное после замены уравнение, то оно неоднородно $2xzz'-z^2=1$

[Ms-dos4]

Цитата:

а под правой частью, равной 0, традиционно в ДУ понимают что то вроде

Я уже написал, какое ЛДУ является однородным и что там принимают под правой частью. После того, как вы сделали замену, уравнение перестало быть однородным (в смысле ОЛДУ, т.к. оно теперь вообще не линейное). Вы не путайте разные смыслы однородности.
P.S.Ваше уравнение решается даже проще(и по "канону"). Выкидываете правую часть
$\[xy'' + y' = 0\]$

$\[\frac{{y''}}{{y'}} = - \frac{1}{x}\]$

$\[d(\ln y') = - d(\ln x)\]$

$\[y' = \frac{{{C_1}}}{x}\]$

$\[y = {C_1}\ln x + {C_2}\]$

Осталось найти частное решение НЛДУ. Исходя из вида уравнения(вторая произв. умножается на $\[{x^3}\]$ а первая на $\[{x^2}\]$), можно предположить, что решение имеет вид $\[{y_p} = \frac{\lambda }{{{x^n}}}\]$
Подставляя имеем $\[\lambda n(n - 1)\frac{1}{{{x^{n - 1}}}} + \lambda n\frac{1}{{{x^{n - 1}}}} = - 1\]$
Видно, что если положим $\[\lambda = n = 1\]$ уравнение удовлетворится. Частное решение$ \[{y_p} = \frac{1}{x}\]$
Общее решение
$\[y = {C_1}\ln \left| x \right| + {C_2} + \frac{1}{x}\]$
P.S.Модули по ходу решения я не писал - лень.

[randy]

парадокс в том, что уравнение просят решить методом понижения порядка, то есть оно все же должно разделяться по переменным.
ну или опечака где-то в условии(

[Otta]

randy в сообщении #731756 писал(а):

парадокс в том, что уравнение просят решить методом понижения порядка, то есть оно все же должно разделяться по переменным.

Ничего оно никому не должно. Метод понижения порядка - когда удается сделать замену, так чтобы уравнение стало более низкого порядка. (Масло будем называть масляным, если оно маслится.. тьфу. ) Вы им пользовались, например, решая Ваше второе уравнение, когда после замены уравнение второго порядка стало уравнением первого порядка. А уже это уравнение является уравнением с разделяющимися переменными. А могло и не являться. Решали бы по другому. Но к первому этапу - понижению порядка, - это не имеет никакого отношения.