"Школьное решение"
1. Предположим, что среди многочленов

есть выше первой степени. Старший член многочлена наивысшей степени

Возводя в квадрат, видим, что у нас получится член

и коэффициент при

положителен. Следовательно, взаимоуничтожения членов такой степени после сложения многочленов не будет. Но коэффициенты при

в правой части нулевые, и мы пришли к противоречию. Следовательно, степени многочленов, удовлетворяющих равенству, не больше единицы.
2. Подставим

Тогда в левой части сумма квадратов свободных членов, а в правой ноль. Очевидно, это возможно, если все свободные члены ноль.