Исследовать спектр

[Rich]

$A \in L(H)$, $H$-гильбертово пространство, $\{e_n\}^{\infty}_{n=1}$-ортонормированный базис.$Ae_1=0$, $Ae_n=(2-\frac{1}{n})e_{n-1},n>1$

Требуется исследовать спектр.


При исследовании дискретного спектра,получаю $\lambda_n= \frac{x_{n+1}}{x_n}(2-\frac{1}{n})$, что делать?

[ewert]

Rich в сообщении #729771 писал(а):

При исследовании дискретного спектра,получаю $\lambda_n= \frac{x_{n+1}}{x_n}(2-\frac{1}{n})$,

Это бессмысленная запись -- слишком много $n$.

Когда исправите -- просто тупо решайте это рекуррентное уравнение. Даже не решайте (явное решение здесь совсем не нужно, хотя и возможно), а просто оценивайте поведение последовательности. Вам ведь что нужно?... -- узнать, при каких спектральных параметрах эта последовательность ведёт себя хорошо, а при каких плохо. Вот и узнавайте.

Правда, потом останется ещё вопрос про границу спектра. Но это лучше уже потом.

-- Ср май 29, 2013 11:33:34 --

Да, и у Вас там ещё сбой в нумерации, хотя это и не существенно.

[Rich]

Получается спектр состоит из одного нуля.

[ewert]

Rich в сообщении #730020 писал(а):

Получается спектр состоит из одного нуля.

Почему?

Для разминки упростите задачу -- замените все $\left(2-\frac1n\right)$ на просто единички.

[Rich]

или из всей числовой прямой?

[ewert]

Rich в сообщении #730023 писал(а):

или из всей числовой прямой?

Во-первых, заведомо не из всей (угадайте, почему заведомо). Во-вторых: при чём тут числовая именно прямая?

[Rich]

1,-1,0 годятся, возможно i,-i тоже.

[ewert]

Rich в сообщении #730033 писал(а):

1,-1,0 годятся, возможно i,-i тоже.

Вы что, так и собираетесь пальчиком наугад по континууму тыкать?...

Кстати, все эти пять чисел действительно подходят. Но не все из них, далеко не все подходят в том смысле, какой Вы в это вкладываете.

[svv]

А как Вы определяете, годится данное $\lambda$ или нет?

[Rich]

А в каком смысле они подходят?

-- 29.05.2013, 16:53 --

Если по $\lambda$ можно найти х(собственный вектор) то все хорошо.

[ewert]

Rich в сообщении #730037 писал(а):

А в каком смысле они подходят?

А Вы для начала решите-ка честно упрощённую задачку (с единичками) -- найдите все собственные числа и собственные векторы, это легко. Но это надо сделать честно.

[Rich]

В задачке с единицами получаю сисмтему уравнений вида $x_n=\lambda x_{n-1},n>1$,при$|\lambda|<1$ все должно быть хорошо.

[ewert]

Rich в сообщении #730047 писал(а):

при$\abs{\lambda}<1$ все должно быть хорошо.

Что значит "должно быть" и почему только при этих лямбдах? Приведите точную аргументацию.

[Rich]

$x_n=\lambda^{n-1}x_1$, если $|\lambda|>1$, $x_n \rightarrow \infty$ при $n \rightarrow \infty, x_1 \ne 0$.

[ewert]

Rich в сообщении #730062 писал(а):

если $|\lambda|>1$, $x_n \rightarrow \infty$ при $n \rightarrow \infty, x_1 \ne 0$.

Это уже лучше, но этого недостаточно.