Исследовать спектр

[Rich]

$|\lambda| \le 1$

[ewert]

Rich в сообщении #730068 писал(а):

$|\lambda| \le 1$

Что?

[Rich]

хотел исправить $|\lambda|<1$ на $|\lambda|\le1$.

[ewert]

Rich в сообщении #730077 писал(а):

хотел исправить $|\lambda|<1$ на $|\lambda|\le1$.

Вы лучше ничего не желайте исправить. Вы лучше хоть раз чётко и недвусмысленно сообщите, что Вы в точности хотели сказать.

[Rich]

$\{\lambda:\lambda < 1\}$ лежат в дискретном спектре т.к. $x_n=\lambda^{n-1}x_1$,если $\lambda \ge 1$ ряд cоответсвующий скалярному произведению $(x,x)$ будет расходиться.

[ewert]

Rich в сообщении #731549 писал(а):

$\{\lambda:\lambda < 1\}$ лежат в дискретном спектре т.к. $x_n=\lambda^{n-1}x_1$,

И что, только при этих лямбдах будет дискретный спектр?... (кстати, называть его принято всё-таки не дискретным)

Rich в сообщении #731549 писал(а):

если $\lambda \ge 1$ ряд cоответсвующий скалярному произведению $(x,x)$ будет расходиться.

А вот это, между прочим, насчёт принадлежности спектру в целом ещё ничего не говорит. Сходимость -- говорит однозначно, расходимость же -- не говорит ничего.

[Rich]

Точнее $\{\lambda:|\lambda|<1\} $ образуют дискретный спектр, $|\lambda|$ не может быть больше единицы,т.к. норма оператора равна единицы, а в случае $|\lambda|=1$ собственный вектор не будет принадлежать гильбертовому пространству засчет скалярного произведения.

[ewert]

Rich в сообщении #731651 писал(а):

Точнее $\{\lambda:|\lambda|<1\} $ образуют дискретный спектр,

Это уже лучше. Только не дискретный, а точечный. Это вообще-то говоря разные вещи, и по весьма веским практическим основаниям разные.

Rich в сообщении #731651 писал(а):

т.к. норма оператора равна единицы,

а кто сказал -- где обоснование?...

Rich в сообщении #731651 писал(а):

а в случае $|\lambda|=1$ собственный вектор не будет принадлежать гильбертовому пространству засчет скалярного произведения.

Ну допустим не будет (хотя в Вашей оригинальной задачке, не в упрощённой, это ещё как сказать). Ну и что?... и при чём тут спектр?...

[Rich]

Норма оператора $||A||=\sup_{||x|| \le 1}||Ax||_{H} \le 1$, если $x_1=0$ получим единицу. А что тогда необходимо ,чтобы доказать,что $|\lambda|=1$ не лежит в точечном спектре,если не тот факт ,что соответствующий собственный вектор не принадлежит пространству?

-- 02.06.2013, 22:32 --

В чем отличие между дискретным и точечным спектром?

[ewert]

Rich в сообщении #731772 писал(а):

А что тогда необходимо ,чтобы доказать,что $|\lambda|=1$ не лежит в точечном спектре,если не тот факт ,что соответствующий собственный вектор не принадлежит пространству?

Ничего более. Но: а вообще-то эти лямбды спектру -- принадлежат или нет?...

Rich в сообщении #731772 писал(а):

В чем отличие между дискретным и точечным спектром?

Дискретный спектр состоит из изолированных (от остального спектра) собственных чисел конечной кратности.