2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




На страницу 1, 2  След.
 
 Вопрос по числовым последовательностям
Сообщение25.05.2013, 09:05 
Известно, что последовательности $x_n$ и $y_n$ сходятся, причем $x_n>0$ и $y_n>0$. Сходится ли последовательность $z_n = {x_n}^{y_n}$? Есть такое ощущение, что $z_n$ может и не сходиться, но не могу придумать пример

 
 
 
 Re: Вопрос по числовым последовательностям
Сообщение25.05.2013, 09:12 
А Вы прологарифмируйте. Авось и просветлеет.

(Оффтоп)

И формулы оформите, как положено, а то недолго Ваша тема тут пробудет.

 
 
 
 Re: Вопрос по числовым последовательностям
Сообщение25.05.2013, 09:29 
Я логарифмировал. $\ln{z_n}={y_n}\ln{x_n}$. даже если $\lim{x_n}=0$, то это тоже не значит, что предела не существует. Пробовал разные варианты для $y_n$, $x_n$. все время получается, что предел есть

 
 
 
 Re: Вопрос по числовым последовательностям
Сообщение25.05.2013, 09:34 
AlexeyS в сообщении #728103 писал(а):
то это тоже не значит, что предела не существует

Не значит. А значит, что существует?
Вы же пример собирались придумывать, хотя бы один, а не доказывать несуществование для всех (некоторых) типов последовательностей.

 
 
 
 Re: Вопрос по числовым последовательностям
Сообщение25.05.2013, 09:53 
Ну вот даже после логарифмирования пример не получается придумать. Если обе последовательности стремятся к нулю, то получатся, что $z_n$ стремится либо к нулю, либо к единице. а если они стремятся к каким-то положительным константам, то и $z_n$ тоже положительная константа. Другие примеры в голову не приходят

 
 
 
 Re: Вопрос по числовым последовательностям
Сообщение25.05.2013, 10:16 
Рассмотрите отдельно два случая -- когда иксы стремятся к нулю и когда не к нулю. В одном из случаев логарифмирование полезно, в другом вредно.

 
 
 
 Re: Вопрос по числовым последовательностям
Сообщение25.05.2013, 11:25 
Когда иксы стремятся не к нулю, то получается, что предел $z_n$ это положительная константа в какой-то неотрицательной степени, т.е. предел есть.
Когда иксы стремятся к нулю, то если $y_n$ стремится не к нулю, то $z_n$ стремится к нулю. Если и иксы, и игреки стремятся одновременно к нулю, то у меня получается, что $\lim{z_n}$ равен либо 0, либо единице. Другие примеры мне в голову не приходят что-то

 
 
 
 Re: Вопрос по числовым последовательностям
Сообщение25.05.2013, 11:29 
AlexeyS в сообщении #728142 писал(а):
Если и иксы, и игреки стремятся одновременно к нулю, то у меня получается, что $\lim{z_n}$ равен либо 0, либо единице.

Не обязательно.

 
 
 
 Re: Вопрос по числовым последовательностям
Сообщение25.05.2013, 11:31 
Аватара пользователя
Однако же это странно. Либо нулю, либо единице! А между ними что, никак нельзя попасть?

 
 
 
 Re: Вопрос по числовым последовательностям
Сообщение25.05.2013, 11:34 
Можно и между нулем и единицей попасть. Но у меня никак не получается попасть так, чтобы предел не существовал

 
 
 
 Re: Вопрос по числовым последовательностям
Сообщение25.05.2013, 11:38 
AlexeyS в сообщении #728145 писал(а):
Но у меня никак не получается попасть так, чтобы предел не существовал

Ну вот Вы утверждаете, что есть пара последовательностей, дающих ноль, и другая пара, дающая единицу. Конечно, такие пары нужно предъявить; предположим, Вы это сделали. Тогда остаётся лишь скомбинировать из этих двух пар третью.

 
 
 
 Re: Вопрос по числовым последовательностям
Сообщение25.05.2013, 11:40 
Аватара пользователя
У этой третьей не будет $y_n>0$.

-- Сб, 2013-05-25, 12:40 --

(в смысле, если Вы на бесконечность нацеливаетесь)

 
 
 
 Re: Вопрос по числовым последовательностям
Сообщение25.05.2013, 11:56 
ИСН в сообщении #728148 писал(а):
в смысле, если Вы на бесконечность нацеливаетесь

Нет, конечно. Зачем мне бесконечность?

 
 
 
 Re: Вопрос по числовым последовательностям
Сообщение25.05.2013, 12:50 
Аватара пользователя
А, ну да, разумеется.
AlexeyS, а бывает так, чтобы последовательность всё время была между нулём и единицей - а предела не было?

 
 
 
 Re: Вопрос по числовым последовательностям
Сообщение25.05.2013, 13:17 
ewert в сообщении #728114 писал(а):
В одном из случаев логарифмирование полезно, в другом вредно.

Оно полезно исключительно с тем, чтобы увидеть, где полезут проблемы. Что мной и предполагалось.
А пример, конечно, опосля этих выяснений проще так составить, согласна.

 
 
 [ Сообщений: 19 ]  На страницу 1, 2  След.


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group