Отношение площадей.

[reformator]

Возникли трудности с такой задачей.

Через середину $K$ медианы $BM$ треугольника $ABC$ и вершину $A$ проведена прямая, пересекающая сторону $BC$ в точке $P$. Найдите отношение площади треугольника $ABC$ к площади четырехугольника $KPCM$.

У меня такой рисунок получился.



Я понимаю, что $\dfrac{S_{BMC}}{S_{ABC}}=0,5$ (свойство медианы).

Вижу, что $S_{BAK}=S_{KAM}$

Пока что идей больше нет. Может подскажите идею?

[_Ivana]

Не идея, но сначала можно предположить, что составитель задачи не изверг и это отношение одинаково для всех остроугольных треугольников, и вычислить его для равнобедренного или равностороннего, какого попроще. Но потом придется доказывать инвариантность отношения в общем случае

[arseniiv]

Если превратить $BK$ в третью медиану, ничего полезного не будет, случайно?

(О скриншоте.)

reformator, а чёрточки на отрезках в GeoGebra тоже проставляются, кстати — вкладка Оформление в окне свойств отрезка.

[provincialka]

Подумайте, в каком отношении точка $P$ делит сторону $BC$.
Подсказка: проведите прямую, параллельную $AP$, через $M$.

-- 24.05.2013, 22:45 --

_Ivana в сообщении #727987 писал(а):

Не идея, но сначала можно предположить, что составитель задачи не изверг и это отношение одинаково для всех остроугольных треугольников, и вычислить его для равнобедренного или равностороннего, какого попроще. Но потом придется доказывать инвариантность отношения в общем случае

Конечно, одинаково, это аффинная задача. Но необязательно использовать специальные треугольники. Наличие аффинности подсказывает выбор методов. Аффинность связана с параллельностью, что наводит на мысль о дополнительных построениях.

[reformator]

provincialka в сообщении #728005 писал(а):

Подумайте, в каком отношении точка $P$ делит сторону $BC$.
Подсказка: проведите прямую, параллельную $AP$, через $M$.
.

Спасибо. Вот так получается


$BP=PD$ по теореме Фалеса. Пока дальше не вижу -- что можно придумать...

-- 24.05.2013, 22:59 --

arseniiv в сообщении #727993 писал(а):

Если превратить $BK$ в третью медиану, ничего полезного не будет, случайно?

(О скриншоте.)

reformator, а чёрточки на отрезках в GeoGebra тоже проставляются, кстати — вкладка Оформление в окне свойств отрезка.

Срасибо. Но какую третью медиану, где, что-то не понятно??

(Оффтоп)

Не вижу такой опции

-- 24.05.2013, 23:03 --

_Ivana в сообщении #727987 писал(а):

Не идея, но сначала можно предположить, что составитель задачи не изверг и это отношение одинаково для всех остроугольных треугольников, и вычислить его для равнобедренного или равностороннего, какого попроще. Но потом придется доказывать инвариантность отношения в общем случае

Ой, что-то меня это пугает

[Someone]

reformator в сообщении #728013 писал(а):

$BP=PC$ по теореме Фалеса. Пока дальше не вижу -- что можно придумать...

Обратите внимание на $\triangle APC$.

[reformator]

Someone в сообщении #728033 писал(а):

Обратите внимание на $\triangle APC$.

А что в нем такого примечательного? Только вот это о нем знаю: $S_{APC}=S_{AKM}+S_{APC}=0,25S_{ABC}+S_{APC}$

[a_nn]

Примечательно примерно то же, что и в BMD.

[Someone]

reformator в сообщении #728037 писал(а):

А что в нем такого примечательного?

Ну, я, посмотрев на него, сразу понял, что искомое отношение площадей равно $\frac{12}5$. Так что смотрите внимательнее. Если ещё чуть-чуть подсказать, то получится уже почти полное решение, а такие подсказки правилами форума запрещены.

[reformator]

a_nn в сообщении #728040 писал(а):

Примечательно примерно то же, что и в BMD.

В $\Delta BMD$ отрезок $KP$ является средней линией.
В $\Delta APC$ отрезок $MK$ - не средняя линия(

А что же еще примечательного?

-- 25.05.2013, 00:38 --

Someone в сообщении #728041 писал(а):

Так что смотрите внимательнее. Если ещё чуть-чуть подсказать, то получится уже почти полное решение, а такие подсказки правилами форума запрещены.

Ну это для Вас очевидно, а я не умею читать мысли... Уже второй день мозг ломаю над этой задачей(

[Someone]

А кто говорил об отрезке $MK$?

[reformator]

Кажется дошло) Так как $KP$ средняя линия треугольника $\Delta MBD$, то $MD||KP$
Значит, $MD||AP$, тогда по теореме Фалеса $PD=DC$.

Тогда $\dfrac{S_{APC}}{S_{ABC}}=\dfrac{2}{3}$

Ну и $S_{KPCM}=\Big(\dfrac{2}{3}-\dfrac{1}{4}\Big)S_{ABC}$

Отношение получается $\dfrac{12}{5}$. А возможно ли решение проще, без товарища Фалеса?

[provincialka]

Т. Фалеса - прекрасная теорема для аффинных задач. Но здесь достаточно свойств средней линии. И еще один ход.
Заметьте, что площадь треугольника можно вычислить как половину произведения сторон на синус угла между ними. Посмотрите на два треугольника -$MBC$ и $KBP$, у них общий угол. Значит, их площади относятся так же, как произведения их сторон.

[nnosipov]

reformator в сообщении #728054 писал(а):

А возможно ли решение проще, без товарища Фалеса?

Берёте клетчатую бумагу, рисуете, а затем считаете площади по клеточкам. Результат тот же, но гораздо быстрее. Правда, нужно сказать одно заклинание, но его здесь уже произносили.

[iakovk]

reformator в сообщении #728054 писал(а):

А возможно ли решение проще, без товарища Фалеса?

Возможно. Вспомните теорему Менелая и ответ получится устно. Никаких дополнительных построений не надо.