Комбинаторика сумма сочетаний 2

[bekemzi]

Доброго времени суток!
Увы возник ещё один, он же последний, вопрос: что можно сделать с этим
$\frac{1}{n+1}\cdot\sum_{l=0}^{n}{(l+1)}^{2}{C}_{n+1}^{l+1}$
$\sum_{l=0}^{n}{(l+1)}^{2}{C}_{n+1}^{l+1}$ при всех значениях n кроме 0 и 1 равно 0.

[sopor]

Попробуйте рассмотреть равенство $\sum\limits_{l=0}^{n}C_{n+1}^{l+1}x^{l+1}=(x+1)^{n+1}-1$, продифференцировать его.

[bekemzi]

Небольшое недоразумение - вот как это выглядит
$\sum_{l=0}^{n}{(-1)}^{l}{(l+1)}{C}_{n}^{l}$
$\sum_{l=0}^{n}{(-1)}^{l}{(l+1)}^{2}{C}_{n+1}^{l+1}$

[sopor]

Здесь этот метод тоже сработает. Равенство будет таким
$\sum\limits_{l=0}^{n}(-1)^{l}C_{n+1}^{l+1}x^{l+1}=-(1-x)^{n+1}+1$
А да, это равенство хорошо подойдёт для второго примера.
Для первого - $\sum\limits_{l=0}^{n}(-1)^{l}C_{n}^{l}x^{l+1}=x(1-x)^{n}$

[bekemzi]

$\[{-x}{(1 - x)^{2n+1}} = {-x}\sum\limits_{k = 0}^{2n+1} {C_{2n+1}^k{x^{2n+1 - k}}} \]$
${-1}\sum\limits_{k = n+2}^{2n+1} {C_{2n}^{k}} = {-1}{C_{2n+2}^{n+2}}$
похоже на истину?

[iifat]

Совершенно не похоже. Минус — он не только впереди, но ещё и внутре скобки!

[bekemzi]

надо сначала посчитать геометрическую прогрессию хотя бы?

[bekemzi]

Проверьте пожалуйста ответ
$(\sin((n-1)\cdot\frac{\pi}{4})-\cos((n-1)\cdot\frac{\pi}{4}))^n$

[sopor]

bekemzi в сообщении #727827 писал(а):

Проверьте пожалуйста ответ
$(\sin((n-1)\cdot\frac{\pi}{4})-\cos((n-1)\cdot\frac{\pi}{4}))^n$

Вы же в самом начале писали, что надо доказать, что это равно нулю