Вроде достаточно умножить на корень квадратный. Пусть

.
1. Рассмотрим точки

, значения функции в этих точках равны

.
Модуль разности двух соседних есть

. Сумма квадратов этих значений образует гармонический ряд.
Теперь рассматриваем такие

, при которых расстояние между соседними точками разбиения меньше

, остальную (правую) часть отрезка разбиваем на равные части такого же размера. Для этих точек сумма квадратов приращений не меньше 0. Теперь подбираем

так, чтобы сумма отрезка гармонического ряда была больше

. Значит, эта сумма будет стремиться к бесконечности.
2. Вторую последовательность разбиений строим так. Рассматриваем нули функции, т.е. точки вида

. Выбираем только те из них, расстояние межде которыми меньше

. Это расстояние есть

. Оно меньше

при

, достаточно взять наименьшее целое решение этого неравенства, оно точно

.
В оставшейся (правой) части отрезка имеем

.
Рассмотрим производную функции

в этой области. По модулю она не превосходит

. Это меньше некоего выражения, имеющего вид

(коэффициент

легко вычисляются и не зависит от

).
Разобьем правую часть отрезка на части длиной

, их меньше

. Изменение функции на каждом не превосходит произведения производной, умноженной на длину отрезка, что меньше

. Вся сумма меньше

Нет, не получается... оценка слишком грубая. Но, думаю, вариация на самом деле не будет слишком большой.