Последовательность допустимых разбиений.

[3.14]

Здравствуйте, участники форума. Вот такая задача : привести пример функции $f(x) \in C[0, 1]$ и последовательности допустимых разбиений отрезка $[0, 1]$ $T^1_n$ и $T^2_n$ таких, что

$$ Q_{\left\{ T^1_n \right\} }(f(x)) = +\infty $$ $$ Q_{\left\{ T^2_n \right\}}(f(x)) = 0 , $$

где $Q_{T}(f)$ - квадратичная вариация.
Напомню некоторые определения. Пусть $T = \left\{ t_0 = 0 < t_1 < ... < t_{m-1} < t_m = 1 \right\}$ разбиение отрезка, тогда $d(T) =\smash{\displaystyle\max_{0 \leq q \leq n-1}} (t_k - t_{k-1})$ - диаметр разбиения.
Последовательность разбиений $T_n$ отрезка называется допустимой, если $d(T_n) \rightarrow 0$, при $n \rightarrow \infty$.
$Q_T(f) = \sum\limits_{k = 1}^{m} |\Delta f_k|^2$, где $\Delta f_k = f(t_k) - f(t_{k-1})$. Тогда
$Q_{\left\{ T_n \right\}}(f(x)) =\lim_{n\to\infty} Q_{T_n}$.
Я рассматривал функцию :

$$ f(x)=\begin{cases} x \sin(\frac{1}{x}),&\text{если $x\in(0,1]$;}\\ 0,&\text{если $x=0$.} \end{cases} $$

Пытался рассматривать разбиения типа : $(t_n)_j = \frac{1}{\pi n (m - j)}$, при $j = 1, ..., m-1$. Но не получилось.Может есть у кого какие-нибудь идеи

[a_nn]

Думаю, тут в основном важна не функция, а разбиение.

[SpBTimes]

А не только ли постоянные функции обладают нуль-вариацией?

[a_nn]

Возьмем функцию $f(x)=x$. Разобьем отрезок точками вида $\frac{k}{n},k=1,...,n$. Получится n раз по $\frac{1}{n^2}$. В пределе - ноль.

[3.14]

a_nn, что-то я не могу подобрать к вашей функции разбиения, чтобы квадратичная вариация была бесконечной ..вот так у меня много раз было : очень легко подбирается разбиение с нулевой вариацией либо, наоборот, с бесконечной легко подбирается..А так, чтобы обе были, что-то не получается.

[provincialka]

А нельзя ли аналогично показать, что у любой равномерно непрерывной функции квадратичный вычет стремится к 0?

-- 20.05.2013, 00:45 --

А с синусами что не получилось, 0 или бесконечность?

-- 20.05.2013, 00:58 --

Должна ли функция быть непрерывной? Если нет, возьмите $\sin \frac1x$

1. Для 0. В левой части отрезка выбираем нули функции, которые расположены достаточно близко друг от друга. В правой - достаточно мелкое разбиение, пользуясь равномерной непрерывностью.

2. Для $\infty$. Берем точки, где функция равна 1 и -1 и последовательно увеличиваем их количество.

[Otta]

provincialka в сообщении #726020 писал(а):

Должна ли функция быть непрерывной

Да, по условию.

[provincialka]

Может, умножить тот же синус (или косинус) не на $x$, а на корень из $x$, скажем, рассмотреть функцию $\sqrt[3]{x}\cos \frac1x$? Размах колебаний увеличится, а нули останутся на месте.
Но я окончательно не додумывала...

[Ms-dos4]

3.14
А если попробовать так немного модифицировать вашу идею
$\[f(x) = \left\{ \begin{array}{l} 0,x = 0\\ nx\sin \frac{n}{x},x \in (0,1] \end{array} \right.\]$
А теперь, если нам нужна вариация равная нулю, выберем разбиение так, чтобы в узлах выполнялось $\[\sin \frac{{n\pi }}{x} = 0$. Расстояние между нулями уменьшается с ростом n, поэтому разбиение допустимо. При $\[n \to \infty \]$ можно найти нуль, лежащий на сколь угодно малом расстоянии от 1.
А если нужна вариация равная бесконечности взять разбиение так, что бы для узлов выполнялось $\[\sin \frac{{n\pi }}{x} = \pm 1\]$ , и далее аналогично. Вроде бы в этом случае кв. вариация стремится к бесконечности.
P.S.Может несу чушь, голова уже не варит

[provincialka]

А почему у вас функция зависит от $n$?

[a_nn]

3.14 в сообщении #726017 писал(а):

a_nn, что-то я не могу подобрать к вашей функции разбиения, чтобы квадратичная вариация была бесконечной ..вот так у меня много раз было : очень легко подбирается разбиение с нулевой вариацией либо, наоборот, с бесконечной легко подбирается..А так, чтобы обе были, что-то не получается.

К ней и не получится. Это я на предыдущее сообщение отвечала (про постоянные функции).

[provincialka]

Вроде достаточно умножить на корень квадратный. Пусть $f(x)=\sqrt x\cos \frac1x$.
1. Рассмотрим точки $t_k=\frac{1}{\pi k}$, значения функции в этих точках равны $(-1)^k\frac{1}{\sqrt{\pi k}}$.
Модуль разности двух соседних есть $\frac{1}{\sqrt{\pi k}}+\frac{1}{\sqrt{\pi(k-1)}}>\frac{2}{\sqrt{\pi k}}$. Сумма квадратов этих значений образует гармонический ряд.
Теперь рассматриваем такие $k$, при которых расстояние между соседними точками разбиения меньше $\delta=1/n$, остальную (правую) часть отрезка разбиваем на равные части такого же размера. Для этих точек сумма квадратов приращений не меньше 0. Теперь подбираем $m$ так, чтобы сумма отрезка гармонического ряда была больше $n$. Значит, эта сумма будет стремиться к бесконечности.

2. Вторую последовательность разбиений строим так. Рассматриваем нули функции, т.е. точки вида $t_k=\frac{1}{\pi(k+1/2)}$. Выбираем только те из них, расстояние межде которыми меньше $\delta=1/n$. Это расстояние есть $\frac{1}{\pi(k^2-1/4)}$. Оно меньше $1/n$ при $k^2>\frac{n}{\pi}+\frac14$, достаточно взять наименьшее целое решение этого неравенства, оно точно $k_n<\sqrt\frac{n}{\pi}+1$.
В оставшейся (правой) части отрезка имеем $x>\frac{1}{\pi(k_n+1/2)}>\frac{1}{\pi(\sqrt{n/\pi}+3/2)}$=\frac{1}{\sqrt{\pi n}+c}.
Рассмотрим производную функции $f$ в этой области. По модулю она не превосходит $\frac{1}{2\sqrt x}+\frac{1}{x\sqrt x}$. Это меньше некоего выражения, имеющего вид $an^{3/4}$ (коэффициент $a$ легко вычисляются и не зависит от $n$).
Разобьем правую часть отрезка на части длиной $1/n$, их меньше $n$. Изменение функции на каждом не превосходит произведения производной, умноженной на длину отрезка, что меньше $an^{3/4}/n=an^{-1/4}$. Вся сумма меньше $a^2n^{-1/2}n=a^2n^{1/2}$

Нет, не получается... оценка слишком грубая. Но, думаю, вариация на самом деле не будет слишком большой.

[a_nn]

Не очень понятно про вторую последовательность... как там 0 получается на правой части? (там же тоже надо как-то разбить).

-- 20.05.2013, 09:22 --

provincialka в сообщении #726079 писал(а):

Разобьем правую часть отрезка на части длиной , их меньше . Изменение функции на каждом не превосходит произведения производной, умноженной на длину отрезка, что меньше . Вся сумма меньше

Лучше на части длиной $\frac {1}{n^2}$.
(извините, как-то криво вставилось...)

[provincialka]

Решала ночью, в темноте, в уме... Не получился 0! Конечно, оценка через производную слишком грубая. Там, где производная велика, точки деления будут близки к нулям функции, так что перепад будет не таким большим. Но каким? Ну, поменьше, чем $\sqrt n$, может, сумма будет порядка $O(1)$. Но не факт, что бесконечно малой!

Думаю, здесь вообще элементарная функция не подойдет. Нужна функция, у которой бесконечное число колебаний осуществляется в сколь угодно малой окрестности любой точки. Что-то типа функции Вейерштрасса, только еще круче (в прямом смысле этого слова). Может, в Гелбаум Б., Олмстед Дж. поискать?

-- 20.05.2013, 11:19 --

О, только что перечитала и обдумала замечание про $\frac{1}{n^2}$. Да, возможно, там получится. Но додумывать уже не хочется, пусть ТС старается.

[Ms-dos4]

provincialka
А пусть зависит от n. Собственно что этому мешает? Просто я не вижу каких то других вариантов. Все функции для которых такое может выполняться, во всяком случае которые мне в голову приходили, не непрерывны. Я так же рассуждал про колебания в бесконечно малой окрестности, так собственно функция и "родилась".