Маятник: тяжёлая нить

[Munin]

Однородная тяжёлая гибкая нерастяжимая нить свободно свисает с неподвижной точки подвеса. Точку подвеса приводят в движение: в равномерное прямолинейное или в периодическое синусоидальное по отрезку, по окружности, по эллипсу.

Понятно, что пойдёт волна, усиливающаяся к нижнему концу. Вопросы:
- существует ли режим, когда волна может быть описана как линейная до самого конца?
- если полагать волну нелинейной, то можно ли, не грызя полноценно дифур (для фанатиков - можно обсудить его интегрируемость, но я в этом ничего не понимаю), описать качественно форму нижнего конца нити, не потеряв ничего существенного (или хотя бы зная, чего именно теряется)?

Задача имеет большое практическое значение для художников, рисующих развевающиеся волосы, хвосты, знамёна и т. п. :-) (В более практическом плане, нить можно сделать ещё и упругой на изгиб.)

[Oleg Zubelevich]

я бы для начала поставил задачу поскромнее: написать уравнения движения очевидно, речь пойдет о вариационном принципе

[Munin]

У вас всегда речь идёт о вариационном принципе. А тут довольно просто выписывается прямо ДУЧП, безо всяких, не знаю, какое слово подобрать.

[Oleg Zubelevich]

Ну, положим не всегда, но я так привык. Я бы дифур выписал, но я просто не верю, что там можно какие-то простые наблюдения сделать вроде тех, о которых вы говорите.

[nikvic]

Забавно было бы это и промоделировать. По-простому - как многозвенный маятник.
Для аниматоров ещё действие ветра.
В случае русалок - воды с поверхностным натяжением

[Oleg Zubelevich]

Параметризуем нить натуральным параметром $s$. Через $\overline r(t,s)$ обозначим радиус-вектор соответствующей точки нити. Уравнения движения:

$$\overline r_{tt}=\overline g+(\lambda\overline r_s)_s,\quad |\overline r_s|^2=1$$

-- Вс май 19, 2013 10:05:50 --

Munin в сообщении #725558 писал(а):

А тут довольно просто выписывается прямо ДУЧП, безо всяких, не знаю, какое слово подобрать.

интересно было бы взглянуть

[Munin]

nikvic в сообщении #725569 писал(а):

Забавно было бы это и промоделировать. По-простому - как многозвенный маятник.

И как многозвенный маятник себя ведёт? Вы его моделировали?

Я, собственно, и хочу его "промоделировать" на бумажке, на самом грубом уровне. Пока такое впечатление, что хвостик будет болтаться сильно-сильно, и завиваться в колечко.

[nikvic]

Munin в сообщении #725643 писал(а):

nikvic в сообщении #725569 писал(а):

Забавно было бы это и промоделировать. По-простому - как многозвенный маятник.

И как многозвенный маятник себя ведёт? Вы его моделировали?

Я, собственно, и хочу его "промоделировать" на бумажке, на самом грубом уровне. Пока такое впечатление, что хвостик будет болтаться сильно-сильно, и завиваться в колечко.

Нет, не моделировал.
Давал ссылку на результаты моделирования хлыста, так что "народ" этим занимался.
Конечно, качественное поведение соответствующего УРЧП тоже было бы интересно углядеть.
=======
Пока не нашёл отклика для другой задачи, про нить, бегущую в поле тяжести. Нить "выкидывается" из некоторой точки и "забирается" в другой, стационарное решение. При нулевой скорости получаем цепную линию, а при ненулевой?

[Oleg Zubelevich]

http://link.springer.com/article/10.100 ... 467#page-1
http://link.springer.com/article/10.100 ... 847#page-1

-- Вс май 19, 2013 14:38:44 --

линеризованная в окрестности положения равновесия задача имеет вид

$$\overline r_{tt}=\overline g+g((S-s)\overline r_s)_s$$

$S$ -- длина нити

[Munin]

Oleg Zubelevich в сообщении #725706 писал(а):

http://link.springer.com/article/10.1007%2FBF01182467#page-1
http://link.springer.com/article/10.100 ... 847#page-1

Спасибо, интересно.

Я потерял нить в начале раздела 4 (первой статьи). Что означает $F'(y)h=(r\,\,\overline{p}\,\,\,\overline{q})^T$?

[Oleg Zubelevich]

а у меня нет возможности качать эжти статьи я только первые страницы видел

[Munin]

Вот они:
http://libgen.org/scimag2/10.1007/BF01182467.pdf
http://libgen.org/scimag2/10.1007/BF01173847.pdf
А как качать - здесь на форуме уже говорилось: «Сервис по скачиванию статей».

[Oleg Zubelevich]

thanx

Munin в сообщении #725728 писал(а):

Что означает $F'(y)h=(r\,\,\overline{p}\,\,\,\overline{q})^T$?

дифференциал оператора $F$ по $x$ см стр 145, уравнение означает, что сейчас линейный оператор $F'$ будем обращать т.е. доказывать, что существует и единственно $h$, а сам обратный оператор непрерывен в шкале

Весьма примечателен сам метод, которым он решает задачу. Исходное уравнение решается в шкале банаховых пространств с помощью итерационного метода Ньютоновского типа. Первым метод Ньютона на уравнения в банаховых пространствах обобщил Канторович, а на уравнения в шкалах -- Колмогоров. Метод Ньютона в шкалах б.п. является ядром знаменитой КАМ теории. Хорошая статья.

[Munin]

Понятно. То есть статья посвящена существованию и единственности решения, а не его конкретному виду, так? Как его искать, хотя бы качественно, не сказано? Насколько валидно линейное приближение, и в каком смысле оно вообще линейно - в смысле линейного ДУЧП или нет?

[Oleg Zubelevich]

Munin в сообщении #725807 писал(а):

То есть статья посвящена существованию и единственности решения, а не его конкретному виду, так?

да так

Munin в сообщении #725807 писал(а):

Как его искать, хотя бы качественно, не сказано?

формально говоря, итерационный процесс это конструктивный способ доказательства теоремы существования, однако для для практических целей этот процесс тоже не пригоден. Обычно важна бывает сама теорема существования в данном прорстранстве, с помощью таких теорем доказывают (и оценивают) сходимость численных алгоритмов

Munin в сообщении #725807 писал(а):

Насколько валидно линейное приближение, и в каком смысле оно вообще линейно - в смысле линейного ДУЧП или нет?

в смысле метода Ньютона. Там последовательность линейных задач решается. И там, строго говоря, не ДУЧП, а интегро-дифференциальное уравнение, нелокальное.