Как в аксиом. подходе формализуются определения ?

[_hum_]

Как-то не соображу, как в аксиоматическом подходе к построению той же математики формализуются определения? Теоремы - понятно - это допустимые в данном формальном языке конструкции, выводимые из аскиом по допустимым правилам вывода. А как быть с определениями?

[epros]

Определения задаются теми же аксиомами. Например, в арифметике Пеано сложение определяется двумя аксиомами:

$x+0=x$
$x+(y+1)=(x+y)+1$

[_hum_]

Так символ "+", отвечающий объекту "сложение", в этом случае должен тогда изначально входить в алфавит языка. То есть, получается, формальная тория уже изначально должна предполагать, какие в ее рамках определения можно будет сформулировать. А это как-то не сильно согласуется с моим представлением о математике, ведь определений в ней со временем становится все больше и больше, но при этом, насколько я понимаю, аксиоматические построения не меняются (или я ошибаюсь, и аксиоматическое построение математики постоянно претерпевает изменения?).

[provincialka]

Конечно, каждое новое понятие имеет свои свойства. Можете считать их аксиомами.
Совсем не специалист в таких туманных вопросах, но думаю, что математические теории входят друг в друга, как матрешки. По крайней мере, опыт "обычных" теорий наводит именно на такие мысли.

[arseniiv]

_hum_, у нас есть какая-то теория $T_1$ без $+$ и аксиом, задающих его отношение со всем остальным, и есть теория $T_2$, расширение теории $T_1$, куда входит всё, что входило в первую, а ещё $+$ и аксиомы-определения. А потом есть, например, расширяющая её $T_3$, в которую, допустим, входит $<$ и некоторые аксиомы. А есть $T'_2$, расширяющая $T_1$ другими аксиомами, говорящими про тот же $<$, и ещё самим $<$, и $T'_3$, расширяющая $T'_2$ определениями сложения и $+$. И если все аксиомы выглядят соответствующим образом (и $+$ из $T'_3$ не оказался случайно трёхместным), можно под конец попробовать доказать, что в $T_3$ и $T'_3$ выводятся одинаковые формулы.

А можно, разумеется, взять и за раз расширить $T_1$ умножением, сложением, порядком и до кучи возведением в степень. Главное не забыть, что математические объекты не изменяются во времени, и это будет уже $T_4$, а теория без всяких наворотов $T_1$ останется таковой.

[mserg]

Наверное небезинтересно будет мнение человека, который на так давно пас коров в деревне (это не шутка, все так и было)

1. Определение в математике, с одной стороны, можно рассматривать просто как короткую запись.

Например, если хочется подсчитать площадь под кривой, то для этого пользуют «определенный интеграл». Можно ли обойтись без известной загогулины с пределами, известного как «определенный интеграл»? Да. Вместо него нужно поставить его определение, которое сделано через другие определения, такие как «сумма», «предел» и т.д. Далее можно обойтись и без «предела» – нужно его заменить егонным определением через «кванторы» и прочее. Если «раскрыть» все определения – то получится запись прямо в обозначениях (выбранной) аксиоматической системы. Если возникают затруднения при раскрытии определений – можно просто прочесть Бурбаки (но жизни на это может не хватить).

Названия определений, и тем более вид их графического аналога, - это просто вопрос договоренности между людьми. Не имеет значения, будет ли это '+' , ‘fonction37’ или что-то иное. Математический язык спокойно расширяют всякими закорючками без покушения на язык, на котором сформулирована аксиоматическая система.

«Аксиоматологам» (это специально обученные люди) по фигу, насколько внятна представлена возможность давать определения в используемом ими языке. Они без лишних объяснений покажут, как даются определения +, -, min, max – все остальное читатель должен сделать в виде упражнения.

2. С другой стороны, без определений использование математики практически невозможно. Записать, например, какое-нибудь интегро-дифференциальное уравнение смогут многие. А пользоваться математикой на уровне детальности аксиом? К тому же, определения дают некоторые математические … не знаю как назвать…. пусть будет «математические хреновины». У них обнаруживают свойства, с ними можно работать формально, но на более высоком уровне. И «математические хреновины» можно прямо сопоставлять с явлениями внешнего мира – это путь к практическому применению.

[Sonic86]

_hum_ в сообщении #724361 писал(а):

Как-то не соображу, как в аксиоматическом подходе к построению той же математики формализуются определения?

Нет так давно тоже задавался этим вопросом. Насколько я понимаю, никак. Т.е. Вы можете конечное число определений запихнуть в аксиомы. Но, например, в отличие от правила вывода, нет явных правил в аксиоматике для построения терминов по некоторым правилам, хотя есть достаточно формальные способы построения определений (могу выписать примеры). Может есть какое-то такое исчисление, где можно строить определения, но я не видел (но я и не спец, это лучше к epros). Должны быть также какие-то аксиомы, "связывающие" введенные термины с исчислением предикатов.
При добавлении определений в виде аксиом меняется сама теория, меняются ее свойства (разрешимость, полнота, множество выразимых предикатов), что неудобно и интуитивно непривычно. Например, при развитии геометрии вводят определение круга, квадрата, трапеции и т.п., не говоря о том, что теория как-то меняется.

[epros]

_hum_ в сообщении #724373 писал(а):

Так символ "+", отвечающий объекту "сложение", в этом случае должен тогда изначально входить в алфавит языка.

Да, должен. Как Вы вообще будете формулировать определение, если у Вас нет обозначения для определяемого понятия? Отсутствие соответствующего символа в языке вполне может ограничить его (языка) выразительные возможности. Хотя, например, языка теории множеств при всей его простоте хватает для выражения большей части математики.

_hum_ в сообщении #724373 писал(а):

То есть, получается, формальная тория уже изначально должна предполагать, какие в ее рамках определения можно будет сформулировать.

Это не совсем так. Большинство определений понятий (в отличие от понятия сложения в арифметике Пеано) в реальной жизни вводятся не для расширения теории, а просто для удобства - чтобы в высказываниях можно было употреблять одно слово вместо длинного оборота. Например, если понятие определяется некой формулой $\varphi$ со свободной переменной $x$ (а эта формула может быть довольно сложной), то мы можем придумать для этого понятия название (например $\text{ThisThing}$) и добавить это название в качестве нового предикатного символа языка: $\text{isThisThing}$. Тогда определение запишется следующей дополнительной аксиомой:

$\forall x \, \text{isThisThing}(x) \leftrightarrow \varphi(x)$

В результате получится т.н. "консервативное расширение теории".

[Xaositect]

У Рассела был такой оператор $\iota$. Терм $\iota x.F(x)$ означал объект, для которого выполняется $F$, если он единственен. Аксиома для использования этой штуки была что-то типа $G(\iota x . F(x)) \Leftrightarrow \exists ! x (F(x)) \& \forall y (F(y)\to G(y))$ (по смыслу такая, с конкретной формулировкой могу врать)

[mserg]

Аксиоматические теории формулируются с помощью языка.
Определения, как краткое обозначение некоторого текста, должны быть определены в языке. Не в формальной теории.

Формальные системы разрабатывались для того, чтобы достичь связности и надежности математики – всё что сделано, должно бы быть сводимо к небольшому числу аксиом. Т.е. процесс тут был обратный – уже существующие математические определения разлагали на все более и более мелкие. Если включить в формальные системы еще и определения, то возникает дополнительный геморрой. Например, определений же бесконечно, и каждому как-то нужно дать уникальное имя. Тут же возникает вопрос, как это делать со всеми вытекающими из этого нюансами. Поэтому, как видно, были приложены усилия, чтобы не создать дополнительных осложнений для описания аксиоматических систем.

В общем, мне кажется вполне разумным, что определения – это языковой уровень, а не формальных систем. Сами определения - основа эффективности математики.

[epros]

mserg в сообщении #724567 писал(а):

В общем, мне кажется вполне разумным, что определения – это языковой уровень, а не формальных систем.

Непонятно, что Вы именуете "языковым уровнем" определения. Например, в языке арифметики нет собственно "определения" сложению. Там есть только символ для его обозначения и синтаксическое правило, согласно которому оный символ можно ставить между двумя термами.

[arseniiv]

mserg, как уже написал epros, есть консервативные расширения, которые не меняют свойства теории. В расширенной таким способом теории все формулы, «написанные языком» старой теории, выводимы тогда и только тогда, когда выводимы в старой. Потому нет смысла хранить определения как-то отдельно от «основной» теории и потом разворачивать их все, чтобы получить формулу этой теории.

[mserg]

arseniiv, мы возможности обсуждаем или определения?
epros, чисто визуально определение в математике суть есть короткое обозначение чего-либо. Вопрос, что вы хотите укоротить в своем примере? Если мое определение неправильно – дайте нормальное.
В языке для определений может быть введен, например, спецсимвол ::= . Слева записываться «имя с параметрами», справа – то что будет заменено.

[epros]

mserg в сообщении #724585 писал(а):

Если мое определение неправильно – дайте нормальное.

Я не понял Вашего определения.

mserg в сообщении #724585 писал(а):

В языке для определений может быть введен, например, спецсимвол ::= . Слева записываться «имя с параметрами», справа – то что будет заменено.

Что Вы собираетесь заменять в языке? Язык, это обычно всего лишь алфавит плюс синтаксис. Синтаксис же обычно определяется грамматикой - аналитической или порождающей, коя есть алгоритм или набор правил. Аналитическая грамматика - это алгоритм, который проверяет, является ли данная строка правильным предложением языка. Порождающая грамматика, собственно, порождает строки, которые являются правильными предложениями языка.

[mserg]

Слово «определение» ни разу не встретилось в вашем ответе.
Читаем определение предела функции по Коши
Слева от “<=>” видим обозначения предела, справа – то, что под пределом понимается. Так даются определения в математике. После введения понятия предела, можно им пользоваться (левой частью). Если не вводить определение предела, то пришлось бы всегда пользоваться выражением из правой части. Что неправильно в моем понимании, и где ваш термин для «определения».