Вычислить интеграл (ответ не сходится)

[Ms-dos4]

Цитата:

Честно?
Нет.

Вообще говоря, дело в том, что данная первообразная - "сшита" из двух различных функций.
$\[\left\{ \begin{array}{l} \int {\frac{{dx}}{x} = \ln x} + {C_1},x > 0\\ \int {\frac{{dx}}{x} = \ln ( - x)} + {C_2},x < 0 \end{array} \right.\]$
Но тут это не принципиально, т.к. запись
$\[\int {\frac{{dx}}{x}} = \ln \left| x \right| + C\]$
не обладает меньшей общностью ввиду того, что константа лишь указывает на множество значений, и что какую бы мы C ни взяли, производная правой части будет равна производной левой части.

[Legioner93]

Ms-dos4 в сообщении #723742 писал(а):

Но тут это не принципиально, т.к. запись
$\[\int {\frac{{dx}}{x}} = \ln \left| x \right| + C\]$
не обладает меньшей общностью ввиду того, что константа лишь указывает на множество значений, и что какую бы мы C ни взяли, производная правой части будет равна производной левой части.

Ещё как обладает. Мы можем взять разные константы в точках $-2$ и $2$, но не можем в точках $2$ и $4$, нужно обязательно брать одинаковые.
Покажите, где это условие "скрыто" в записи $\[\int {\frac{{dx}}{x}} = \ln \left| x \right| + C\]$.
Как его оттуда "вытащить", в общем?

А вот расширенная фигурноскобочная запись это условие содержит.

[Ms-dos4]

Ещё раз. Константа там стоит лишь для обозначения множества значений. И "привязывается" она к функции, а не к области определения.
P.S. Какой вообще смысл приписывать разные константы? Хоть 1 пример приведите, когда у нас стоит необходимость так поступать и это приводит к разным результатам в реальных вычислениях (к примеру в задачах физики).

[ewert]

Legioner93 в сообщении #723749 писал(а):

Покажите, где это условие "скрыто" в записи $\[\int {\frac{{dx}}{x}} = \ln \left| x \right| + C\]$.

Нигде не скрыто, и нет этого условия. Просто запись вида $\int f(x)\,dx=F(x)+C$ имеет смысл лишь на интервалах, на которых первообразная дифференцируема. То, что на разных интервалах константы, вообще говоря, разные -- никому не интересно, ибо это и так подразумевается (константы без пометок, согласно правилам хорошего тона, применяются тогда, когда эти пометки не имеют значения).

[provincialka]

Согласна с Ms-dos4 и ewert . Обозначение $+C$ - некоторая условность. В теоремах (например, формуле Ньютона-Лейбница), где первообразная рассматривается на промежутке, оговаривается, что она должна быть непрерывна.

[Legioner93]

Ms-dos4 в сообщении #723753 писал(а):

Ещё раз. Константа там стоит лишь для обозначения множества значений. И "привязывается" она к функции, а не к области определения.

Вы согласны со следующими утверждениями?
1) Первообразная функции $f$ на области определения $D(f)$ -- такая функция $F$, производная которой на всей области определения $D(f)$ равна $f$.
2) Неопределенный интеграл -- совокупность всех первообразных функции.
3) Производная $\tilde{F}'$, где $\tilde{F}$ определяется как

$$\begin{cases} \ln(x)+1 , &\text{если $x>0$;}\\ \ln(-x)-1 , &\text{если $x<0$;} \end{cases}$$

совпадает с функцией $f=\frac{1}{x}$ на всей области определения $D(f)$.
4) Поэтому любое множество функций, про которое заявляется, что оно являет собой неопределенный интеграл функции $f=\frac{1}{x}$, должно как минимум включать в себя функцию $\tilde{F}$
5) Множество функций $\{\ln{|x|} + C\}$ где $C \equiv \operatorname{const}$ на $\mathbb{R} \setminus \{0\}$ не включает в себя $\tilde{F}$
6) Поэтому это множество не является неопределенным интегралом функции $f=\frac{1}{x}$

С какими пунктами не согласны, говорите.

(Оффтоп)

Ms-dos4 в сообщении #723753 писал(а):

Хоть 1 пример приведите, когда у нас стоит необходимость так поступать и это приводит к разным результатам в реальных вычислениях (к примеру в задачах физики).

ewert в сообщении #723788 писал(а):

То, что на разных интервалах константы, вообще говоря, разные -- никому не интересно

А мне вот интересно. И давайте тогда всё "неинтересное" и "скучное" упрощать и заменять. Кому интересны какие-то там константы, когда самолеты без них и так не падают (это на тему "приложений в физике"), да? Получим такую вполне рабочую "инженерную математику", кстати. Да и учить к экзаменам почти ничего не надо будет... Здоровская идея, поддерживаю

Кстати, как вы думаете, какой процент среднестатических студентов действительно понимает, как следует читать запись $\ln{|x|}+C$? В том смысле, который мы обсуждаем. Мне кажется, что очень-очень небольшой. Может, всё дело именно в таких упрощениях? Вон и ТС искренне призналась, что в первый раз про это слышит, хотя ей по возрасту ещё простительно.

[mihailm]

Первообразная определяется на промежутке.
Формально говоря у $f(x)=\frac{1}{x}$ нет первообразной)

[provincialka]

Все пункты правильные. Студентам надо объяснить условность такой записи. Иногда погоня за точностью приводит к такому усложнению формул, что до смысла и не доберешься. Применять эту формулу лучше на интервале.

[Ms-dos4]

Цитата:

Вы согласны со следующими утверждениями?

Согласен. Только вот вам уже указали, что $\[ + C\]$ нужно понимать в смысле обозначения "всех первообразных"
P.S.А честно говоря, мне как физфаковцу до таких тонкостей...