2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




На страницу 1, 2, 3  След.
 
 Интегрирование неравенства
Сообщение12.05.2013, 17:38 
Имеется такая штука: $\frac{dy}{1+y^2}\geq -dx,$ для всех $x\in (a;b).$
Имею ли право интегрировать данное неравенство?

 
 
 
 Re: Интегрирование неравенства
Сообщение12.05.2013, 17:43 
Где неравенство?

 
 
 
 Re: Интегрирование неравенства
Сообщение12.05.2013, 17:52 
Praded поправил.

 
 
 
 Re: Интегрирование неравенства
Сообщение12.05.2013, 18:08 
Аватара пользователя
А что такое $y$ - функция от $x$?
Вообще-то у интеграла есть такое свойство: чем больше функция, тем больше интеграл. Определенный. Но у вас не функции - а дифференциалы, их знак зависит и от $dx, dy$.

 
 
 
 Re: Интегрирование неравенства
Сообщение12.05.2013, 18:22 
provincialka да, функция от $x.$

 
 
 
 Re: Интегрирование неравенства
Сообщение12.05.2013, 19:44 
Аватара пользователя
Видимо, надо считать, что $dx>0$. Тогда можно интегрировать по отрезку $[a;b], a\le b$

 
 
 
 Re: Интегрирование неравенства
Сообщение12.05.2013, 21:14 
После интегрирования получается, что $arctg(b)-arctg(a)\geq -(b-a).$
Но левую часть неравенства не получается приблизить к $-\pi ...$

 
 
 
 Re: Интегрирование неравенства
Сообщение12.05.2013, 21:18 
zychnyy в сообщении #723016 писал(а):
После интегрирования получается, что $arctg(b)-arctg(a)\geq -(b-a).$
Но левую часть неравенства не получается приблизить к $-\pi ...$

Нет. После интегрирования получается, что $\arctg y(b)-\arctg y(a)\geq -(b-a).$.
Не очень понятно, откуда могло взяться Ваше исходное неравенство и чего Вы вообще хотите.

 
 
 
 Re: Интегрирование неравенства
Сообщение12.05.2013, 21:28 
Otta понял свою ошибку. Всем спасибо! :-)

 
 
 
 Re: Интегрирование неравенства
Сообщение16.05.2013, 17:12 
provincialka в сообщении #722964 писал(а):
Тогда можно интегрировать по отрезку $[a;b], a\le b$


А, если отрезок бесконечной длины (левая и правая части неравенства положительны), можно неравенство интегрировать? Если да, то откуда это следует строго математически, ведь на практике этого не проверить? (если отрезок конкретной конечной длины, то понятно; для бесконечной- понятно на бытовом уровне).

 
 
 
 Re: Интегрирование неравенства
Сообщение16.05.2013, 17:25 
TR63 в сообщении #724656 писал(а):
Если да, то откуда это следует строго математически

Граждане, учите матчасть.
Интегрирование по промежутку сохраняет нестрогое неравенство между функциями, имеющееся на этом промежутке.
В случае, когда интеграл несобственный (в т.ч. и по промежутку бесконечной длины), естественно, требуется существование (сходимость) этих интегралов.

 
 
 
 Re: Интегрирование неравенства
Сообщение16.05.2013, 17:42 
Otta,
спасибо за ответ. (Матчасть, действительно, подзабыла; я не математик; этот вопрос мне интересен для решения другого вопроса).
Сохраняется ли знак неравенства при интегрировании на бесконечном промежутке, если неравенство строгое?

 
 
 
 Re: Интегрирование неравенства
Сообщение16.05.2013, 18:10 
TR63 в сообщении #724672 писал(а):
Сохраняется ли знак неравенства при интегрировании на бесконечном промежутке, если неравенство строгое?

Сохраняется, но вообще говоря, строгости гарантировать нельзя.
Только будет в ту же сторону.

 
 
 
 Re: Интегрирование неравенства
Сообщение16.05.2013, 18:27 
Да. Я уже и сама вспомнила- первый замечательный предел. (Я хотела заметить, что сохранение качества (однозначность) во внутренней области (любой конечной) не гарантирует его сохранение на границе области (бесконечности)). Мне ещё непонятно его сохранение для любой конечной области.
Можно дать гарантию в сто процентов, что строгое неравенство при интегрировании на любом конечном промежутке сохраняется?

 
 
 
 Re: Интегрирование неравенства
Сообщение16.05.2013, 18:42 
TR63 в сообщении #724702 писал(а):
Можно дать гарантию в сто процентов, что строгое неравенство при интегрировании на любом конечном промежутке сохраняется?

Если на промежутке $[a,b] \; f(x)\le g(x)$, то $\int_a^b f(x) dx \le \int_a^b g(x) dx$.
Если на промежутке $[a,b] \;  f(x)< g(x)$, то $\int_a^b f(x) dx <  \int_a^b g(x) dx$.

Отрезок можно заменить любым множеством конечной ненулевой меры.

 
 
 [ Сообщений: 31 ]  На страницу 1, 2, 3  След.


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group