Интегрирование неравенства

[zychnyy]

Имеется такая штука: $\frac{dy}{1+y^2}\geq -dx,$ для всех $x\in (a;b).$
Имею ли право интегрировать данное неравенство?

[Praded]

Где неравенство?

[zychnyy]

Praded поправил.

[provincialka]

А что такое $y$ - функция от $x$?
Вообще-то у интеграла есть такое свойство: чем больше функция, тем больше интеграл. Определенный. Но у вас не функции - а дифференциалы, их знак зависит и от $dx, dy$.

[zychnyy]

provincialka да, функция от $x.$

[provincialka]

Видимо, надо считать, что $dx>0$. Тогда можно интегрировать по отрезку $[a;b], a\le b$

[zychnyy]

После интегрирования получается, что $arctg(b)-arctg(a)\geq -(b-a).$
Но левую часть неравенства не получается приблизить к $-\pi ...$

[Otta]

zychnyy в сообщении #723016 писал(а):

После интегрирования получается, что $arctg(b)-arctg(a)\geq -(b-a).$
Но левую часть неравенства не получается приблизить к $-\pi ...$

Нет. После интегрирования получается, что $\arctg y(b)-\arctg y(a)\geq -(b-a).$.
Не очень понятно, откуда могло взяться Ваше исходное неравенство и чего Вы вообще хотите.

[zychnyy]

Otta понял свою ошибку. Всем спасибо!

[TR63]

provincialka в сообщении #722964 писал(а):

Тогда можно интегрировать по отрезку $[a;b], a\le b$

А, если отрезок бесконечной длины (левая и правая части неравенства положительны), можно неравенство интегрировать? Если да, то откуда это следует строго математически, ведь на практике этого не проверить? (если отрезок конкретной конечной длины, то понятно; для бесконечной- понятно на бытовом уровне).

[Otta]

TR63 в сообщении #724656 писал(а):

Если да, то откуда это следует строго математически

Граждане, учите матчасть.
Интегрирование по промежутку сохраняет нестрогое неравенство между функциями, имеющееся на этом промежутке.
В случае, когда интеграл несобственный (в т.ч. и по промежутку бесконечной длины), естественно, требуется существование (сходимость) этих интегралов.

[TR63]

Otta,
спасибо за ответ. (Матчасть, действительно, подзабыла; я не математик; этот вопрос мне интересен для решения другого вопроса).
Сохраняется ли знак неравенства при интегрировании на бесконечном промежутке, если неравенство строгое?

[Otta]

TR63 в сообщении #724672 писал(а):

Сохраняется ли знак неравенства при интегрировании на бесконечном промежутке, если неравенство строгое?

Сохраняется, но вообще говоря, строгости гарантировать нельзя.
Только будет в ту же сторону.

[TR63]

Да. Я уже и сама вспомнила- первый замечательный предел. (Я хотела заметить, что сохранение качества (однозначность) во внутренней области (любой конечной) не гарантирует его сохранение на границе области (бесконечности)). Мне ещё непонятно его сохранение для любой конечной области.
Можно дать гарантию в сто процентов, что строгое неравенство при интегрировании на любом конечном промежутке сохраняется?

[Otta]

TR63 в сообщении #724702 писал(а):

Можно дать гарантию в сто процентов, что строгое неравенство при интегрировании на любом конечном промежутке сохраняется?

Если на промежутке $[a,b] \; f(x)\le g(x)$, то $\int_a^b f(x) dx \le \int_a^b g(x) dx$.
Если на промежутке $[a,b] \; f(x)< g(x)$, то $\int_a^b f(x) dx < \int_a^b g(x) dx$.

Отрезок можно заменить любым множеством конечной ненулевой меры.