Объем тела

[Limit79]

Вычислить объем тела, с помощью тройного интеграла: $4 \leqslant z \leqslant 6, x^2+y^2 \leqslant 4z$

Насколько я понимаю, требуется найти объем тела, ограниченного параболоидом $4z=x^2+y^2$ и двумя плоскостями $z=4$ и $z=6$

Рисунок такой:



Искомый объем можно найти как разность объемов двух тел, первое из которых ограничено параболоидом и плоскостью $z=6$, а второе - параболоидом и плоскостью $z=4$.

Объем первого тела ($4z=x^2+y^2$ и $z=6$):

Проекция на плоскость $xOy$ - круг $x^2+y^2 \leqslant 24$

Переходим к цилиндрическим координатам, получаем: $V_{1} = \int\limits_{0}^{2\pi} d \varphi \int\limits_{0}^{2\sqrt{6}} r dr \int\limits_{\frac{r^2}{4}}^{6} dz = 72 \pi$

Объем второго тела ($4z=x^2+y^2$ и $z=4$):

Проекция на плоскость $xOy$ - круг $x^2+y^2 \leqslant 16$

Переходим к цилиндрическим координатам, получаем: $V_{2} = \int\limits_{0}^{2\pi} d \varphi \int\limits_{0}^{4} r dr \int\limits_{\frac{r^2}{4}}^{4} dz = 32 \pi$

Тогда искомый объем $V = V_{1} - V_{2} = 72 \pi - 32 \pi = 40 \pi$

Верны ли мои мысли? И еще вопрос: а можно как-нибудь по-другому вычислить объем искомого тела (условие $4 \leqslant z \leqslant 6$ наталкивает на некоторые мысли, но они не верны)?

[provincialka]

Limit79 в сообщении #722599 писал(а):

И еще вопрос: а можно как-нибудь по-другому вычислить объем искомого тела (условие наталкивает на некоторые мысли, но они не верны)?

Ну, не зная ваших мыслей трудно сказать, верны ли они
Можно найти объем одним интегралом по $z$, проинтегрировать площадь сечения. А что у нас будет сечением?

(Оффтоп)

правильно, корова! Пейте дети молоко, будете здоровы.

[Limit79]

provincialka
Я думал взять пределы по $z$ от $4$ до $6$, но это неверно.

Сечением будет круг

[provincialka]

Limit79 в сообщении #722607 писал(а):

provincialka
Я думал взять пределы по $z$ от $4$ до $6$, но это неверно.

Сечением будет круг

Почему неверно? Смотря в каком порядке их расставлять. Тут вообще только один интеграл нужен, не три. Площадь круга знаете?

[Limit79]

provincialka
Знаю, $\pi r^2$

[provincialka]

Limit79 в сообщении #722612 писал(а):

provincialka
Знаю, $\pi r^2$

Ура! Только у вас радиус будет переменным.

[Limit79]

provincialka
А интегрировать надо только по радиусу?

[provincialka]

Нет, по $z$, от которого радиус зависит. формула: $V(z)=\int_a^bS(z)$

[Limit79]

provincialka
Все равно не понимаю... а зачем тогда площадь круга нужна?

-- 12.05.2013, 01:40 --

Как-то так что ли: $S(z) = \pi r^2(z)$ ?

[Shtorm]

Limit79 в сообщении #722636 писал(а):

Все равно не понимаю... а зачем тогда площадь круга нужна?

Limit79, видимо, чтобы выразить площадь круга - как функцию $z$.

-- Вс май 12, 2013 00:41:45 --

Теперь искать зависимость радиуса от высоты.

[provincialka]

Боже, ну что тут искать! Уравнение круга - $x^2+y^2\le r^2$. А теперь сравните с заданием!

[Limit79]

Радиус зависит от $z$ вроде вот так: $r(z) = \sqrt{4z}$, то есть $V = \int\limits_{4}^{6} 4\pi z dz = 40 \pi$

[provincialka]

И в чем вопрос? Решение простое. С ответом сходится. Ура!

[Limit79]

provincialka
Спасибо, понял. Но по условию-то надо через тройной интеграл но тем не менее - для проверки результата. Я еще так проверял: искомый объем примерно равен объему цилиндра радиуса $5$ и высоты $2$.

[provincialka]

Ну, посчитайте площадь круга двойным. Через цилиндрическую замену.