Объем тела

[Limit79]

provincialka
Хороший прием

[Nacuott]

Проще всего проверить-это рассмотреть объем тела, как объем полученный от вращения куска параболы.Объем тогда вычисляется однократным интегралом и равен двадцать pi.

[Shtorm]

Nacuott, где-то Вы ошиблись. Формула для нахождения объёма тела, полученного вращением куска кривой $y=f(x)$ вокруг оси $OX$.

$$V=\pi\int\limits_a^b[f(x)]^2dx$$

Берём параболоид $x^2+y^2=4z$ и рассекаем его плоскостью $XOZ$. В сечении получаем параболу $x^2=4z$. Принимаем ось $OX$ за вертикальную ось, а ось $OZ$ за горизонтальную. Значит кривая $x=\sqrt{4z}$ вращается вокруг оси $OZ$ и образует параболоид. Перепишем формулу:

$$V=\pi\int\limits_a^b[x(z)]^2dz=\pi\int\limits_{4}^{6}4zdz=40\pi$$

[ewert]

Limit79 в сообщении #722656 писал(а):

Но по условию-то надо через тройной интеграл

А как тройной-то интеграл считается?... Есть два стандартных подхода к расстановке пределов, и оба они сводятся к тому, что на промежуточном этапе тройной интеграл представляется как комбинация двойного и обычного; вопрос лишь, в каком порядке.

1). Можно взять внешний интеграл двойным (по проекции области на горизонтальную плоскость) и внутренний -- одинарным, по вертикальной оси. Этот способ обычно удобнее, и именно им Вы вначале и считали.

2). Но можно и наоборот: внешний интеграл брать по вертикальной оси от крайней нижней до крайней верхней точки, внутренний же, соответственно -- по горизонтальному сечению, отвечающему данному $z$. Это обычно неудобно, т.к. трудно описывать зависимость сечения от $z$. Но иногда бывает и наоборот, вот как в Вашей задачке.

[Nacuott]

Shtorm в сообщении #722734 писал(а):

Nacuott, где-то Вы ошиблись. Формула для нахождения объёма тела, полученного вращением куска кривой $y=f(x)$ вокруг оси $OX$.

$$V=\pi\int\limits_a^b[f(x)]^2dx$$

Берём параболоид $x^2+y^2=4z$ и рассекаем его плоскостью $XOZ$. В сечении получаем параболу $x^2=4z$. Принимаем ось $OX$ за вертикальную ось, а ось $OZ$ за горизонтальную. Значит кривая $x=\sqrt{4z}$ вращается вокруг оси $OZ$ и образует параболоид. Перепишем формулу:

$$V=\pi\int\limits_a^b[x(z)]^2dz=\pi\int\limits_{4}^{6}4zdz=40\pi$$

Да.Гд-то упустил двойку.Причем упустил дважды.При вычисления интеграла и при грубой проверке при вычислении объема как цилиндра со средним диаметром 4.5 и высотой 2