Определенный интеграл

[Limit79]

$\int\limits_{0}^{2} (x+1)^2 \sqrt{6x-x^2} dx$

Решаю так:

$\int\limits_{0}^{2} (x+1)^2 \sqrt{6x-x^2} dx = \int\limits_{0}^{2} (x+1)^2 \sqrt{9-(x-3)^2} dx$

Далее делаю замену $t=x-3$, получаю:

$\int\limits_{-3}^{-1} (t+4)^2 \sqrt{9-t^2} dt$

Далее делаю замену $t=3\sin(s)$, получаю:

$ 9 \cdot \int\limits_{-\arcsin(1)}^{-\arcsin(\frac{1}{3})} (3\sin(s)+4)^2 \cos^2(s) ds$

Правильно ли я начал? Или можно было как-то рациональнее? И что делать дальше: раскрывать косинус как синус, и честно считать дальше, или можно как-то по-умному сделать?

Заранее спасибо за помощь!

[Shtorm]

Limit79 в сообщении #722066 писал(а):

Далее делаю замену $t=x-3$, получаю:

$\int\limits_{-3}^{-1} (x+4)^2 \sqrt{9-t^2} dt$

Исправьте опечатку, замените $x$ на $t$. А то глаз режет.

[Limit79]

Shtorm
Спасибо, исправил.

[Shtorm]

Limit79 в сообщении #722066 писал(а):

$\int\limits_{0}^{2} (x+1)^2 \sqrt{6x-x^2} dx = \int\limits_{0}^{2} (x+1)^2 \sqrt{9-(x-3)^2} dx$

Так рациональнее сразу после этого, заменить $(x-3)$ на синус или косинус с коэффициентом:

$$x-3=3\sin t$$

или

$$x-3=3\cos t$$

[Ms-dos4]

Я в детали не вникал, но в принципе таким способом интеграл действительно берётся. Но вот после возвращения к исходной переменной там караул будет. Вам этот интеграл непременно в аналитическом виде нужен? А то проще численно посчитать.
P.S.Можно ещё попробовать подстановки типа
$\[\sqrt {6x - {x^2}} = tx\]$
или
$\[\sqrt {6x - {x^2}} = t(x - 6)\]$
Они должны рационализировать интеграл, но будет ли легче - это вопрос

[Shtorm]

Ms-dos4 в сообщении #722079 писал(а):

Но вот после возвращения к исходной переменной..

А зачем к ней возвращаться, если интеграл определённый?

[Ms-dos4]

Цитата:

А зачем к ней возвращаться, если интеграл определённый?

(Оффтоп)

ничего уже не вижу. Естественно вы правы.

[Limit79]

Shtorm
Точно, одна замена - лучше двух.

Ms-dos4
Нужно аналитически. Спасибо, попробую.

[provincialka]

Limit79 в сообщении #722066 писал(а):

Далее делаю замену $t=3\sin(s)$, получаю:

$ 9 \cdot \int\limits_{-3\sin(3)}^{-3\sin(1)} (3\sin(s)+4)^2 \cos^2(s) ds$

Правильно ли я начал?

У Вас пределы интегрирования неправильные. Проверьте.

Shtorm в сообщении #722081 писал(а):

А зачем к ней возвращаться, если интеграл определённый?

Определенный-то он определенный, но верхним пределом будет $-\arcsin (1/3)$. Его и придется подставлять в окончательную формулу. А это тоже удовольствие ниже среднего.

[Limit79]

provincialka
Спасибо, поправил.

Мне подсказали еще идею: на втором шаге, до того как вводить тригонометрию, раскрыть квадрат и вычислять три интеграла, но один фиг, как минимум в одном из них нужно будет вводить ту же тригонометрию...

[provincialka]

Если в одном - можно как дифф. бином считать.

[Limit79]

provincialka

Дифференциальный бином имеем вид: $\int x^m (a+bx^n)^p dx$

У нас выражение такое: $\int (t+4)^2 \sqrt{9-t^2} dt$, то есть:$\int (t+4)^2 (9-t^2)^{\frac{1}{2}} dt$

Насколько я понимаю, надо сделать замену $a=t+4$, но тогда получается:

$$\int a^2 (-a^2+8a-7)^{\frac{1}{2}} da$$

или так:

$$\int a^2 (9 - (a-4)^2)^{\frac{1}{2}} da$$

И не понимаю, как тут использовать дифф. бином...

[provincialka]

Ну, если используешь дифф. бином, не следует бояться дробных степеней. Возьмите, например, $t^2$ за $u$, тогда $t=-\sqrt{u}$. Тем более, что этот совет был не для всего интеграла, а для отдельного слагаемого, у которого перед скобкой только степень $t$.

Впрочем, я сделала совсем тупо: просто обозначила весь корень $\sqrt{9-t^2}=u$, получилось совсем неплохо. Только в одном месте пришлось проинтегрировать по частям, чтобы избавиться от $u^2$ в числителе. Только я брала за $t=3-x$ - не люблю отрицательные пределы интегрирования.

[Limit79]

provincialka
А в Вашем способе, который $\sqrt{9-t^2}=u$ появляются пределы в виде этих самых арксинусов, или нет?

Я сейчас начал решать по тому способу, в которым исходный интеграл разбивается на три интеграла, и вот что получил:

$I_{1} = \int\limits_{-3}^{-1} t^2 \sqrt{9-t^2} dt$ - Насколько я понимаю, он берется по частям, то есть без тригонометрии.

$I_{2} = \int\limits_{-3}^{-1} 8t \sqrt{9-t^2} dt$ - Берется заменой переменной, то есть тоже без тригонометрии.

$I_{3} = \int\limits_{-3}^{-1} 16 \sqrt{9-t^2} dt$ - А вот этот как-нибудь можно взять без введения тригонометрии?

[Otta]

Limit79 в сообщении #722154 писал(а):

А вот этот как-нибудь можно взять без введения тригонометрии?

По частям. $dv=dt$.