Ой, плюньте на все сложности, вернитесь к своей идее:
Я сейчас начал решать по тому способу, в которым исходный интеграл разбивается на три интеграла, и вот что получил:
- Насколько я понимаю, он берется по частям, то есть без тригонометрии.
- Берется заменой переменной, то есть тоже без тригонометрии.
- А вот этот как-нибудь можно взять без введения тригонометрии?
Только лучше постоянные множители не включать в интегралы. Тогда первый интеграл с помощью интегрирования по частям сводится к третьему, а его можно уже взять из справочников (я, например, разрешаю).
Решил сначала найти неопределенные интегралы, а потом уже определенные. Третий нашел через тригонометрию (ну и ладно, ответ нормальный). Но никак не могу свести первый к третьему...
![$\[\int\limits_0^2 {{{(x + 1)}^2}\sqrt {6x - {x^2}} dx} \]$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/5/f/3/5f3530de23774a33b388c372e85b977e82.png "$\[\int\limits_0^2 {{{(x + 1)}^2}\sqrt {6x - {x^2}} dx} \]$")
![$\[\sqrt {6x - {x^2}} = tx \Rightarrow x = \frac{6}{{{t^2} + 1}} \Rightarrow dx = - \frac{{12t}}{{{{({t^2} + 1)}^2}}}dt\]$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/1/3/a/13a77e88c1057e667208639b12c86e8182.png "$\[\sqrt {6x - {x^2}} = tx \Rightarrow x = \frac{6}{{{t^2} + 1}} \Rightarrow dx = - \frac{{12t}}{{{{({t^2} + 1)}^2}}}dt\]$")
![$\[\begin{array}{l}
\int\limits_0^2 {{{(x + 1)}^2}\sqrt {6x - {x^2}} dx} = - \int\limits_\infty ^{\sqrt 2 } {{{(\frac{6}{{{t^2} + 1}} + 1)}^2}\frac{{72{t^2}}}{{{{({t^2} + 1)}^3}}}dt} \\
= {\rm{2592}}\int\limits_{\sqrt 2 }^\infty {\frac{{{t^2}dt}}{{{{({t^2} + 1)}^5}}}} + {\rm{864}}\int\limits_{\sqrt 2 }^\infty {\frac{{{t^2}dt}}{{{{({t^2} + 1)}^4}}}} + 72\int\limits_{\sqrt 2 }^\infty {\frac{{{t^2}dt}}{{{{({t^2} + 1)}^3}}}}
\end{array}\]
$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/d/0/f/d0ffc51d05533b64ed9a2c11c3935dd982.png "$\[\begin{array}{l}
\int\limits_0^2 {{{(x + 1)}^2}\sqrt {6x - {x^2}} dx} = - \int\limits_\infty ^{\sqrt 2 } {{{(\frac{6}{{{t^2} + 1}} + 1)}^2}\frac{{72{t^2}}}{{{{({t^2} + 1)}^3}}}dt} \\
= {\rm{2592}}\int\limits_{\sqrt 2 }^\infty {\frac{{{t^2}dt}}{{{{({t^2} + 1)}^5}}}} + {\rm{864}}\int\limits_{\sqrt 2 }^\infty {\frac{{{t^2}dt}}{{{{({t^2} + 1)}^4}}}} + 72\int\limits_{\sqrt 2 }^\infty {\frac{{{t^2}dt}}{{{{({t^2} + 1)}^3}}}}
\end{array}\]
$")
![$\[\int {\frac{{{t^2}dt}}{{{{({t^2} + 1)}^n}}}} = \int {\frac{{({t^2} + 1 - 1)dt}}{{{{({t^2} + 1)}^n}}}} = \int {\frac{{dt}}{{{{({t^2} + 1)}^{n - 1}}}}} - \int {\frac{{dt}}{{{{({t^2} + 1)}^n}}}} \]$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/2/7/7/277a337f3d21c7c719ec12626c39bc5082.png "$\[\int {\frac{{{t^2}dt}}{{{{({t^2} + 1)}^n}}}} = \int {\frac{{({t^2} + 1 - 1)dt}}{{{{({t^2} + 1)}^n}}}} = \int {\frac{{dt}}{{{{({t^2} + 1)}^{n - 1}}}}} - \int {\frac{{dt}}{{{{({t^2} + 1)}^n}}}} \]$")
![$\[\begin{array}{l}
\int\limits_{\sqrt 2 }^\infty {\frac{{{t^2}dt}}{{{{({t^2} + 1)}^5}}}} = \frac{{5\pi }}{{256}} - \frac{{157\sqrt 2 }}{{10368}} - \frac{5}{{128}}{\mathop{\rm arctg}\nolimits} (\sqrt 2 )\\
\int\limits_{\sqrt 2 }^\infty {\frac{{{t^2}dt}}{{{{({t^2} + 1)}^4}}}} = \frac{\pi }{{32}} - \frac{{25\sqrt 2 }}{{1296}} - \frac{1}{{16}}{\mathop{\rm arctg}\nolimits} (\sqrt 2 )\\
\int\limits_{\sqrt 2 }^\infty {\frac{{{t^2}dt}}{{{{({t^2} + 1)}^3}}}} = \frac{\pi }{{16}} - \frac{{\sqrt 2 }}{{72}} - \frac{1}{8}{\mathop{\rm arctg}\nolimits} (\sqrt 2 )
\end{array}\]$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/e/2/8/e289feffae60db45ef06d048c65c466882.png "$\[\begin{array}{l}
\int\limits_{\sqrt 2 }^\infty {\frac{{{t^2}dt}}{{{{({t^2} + 1)}^5}}}} = \frac{{5\pi }}{{256}} - \frac{{157\sqrt 2 }}{{10368}} - \frac{5}{{128}}{\mathop{\rm arctg}\nolimits} (\sqrt 2 )\\
\int\limits_{\sqrt 2 }^\infty {\frac{{{t^2}dt}}{{{{({t^2} + 1)}^4}}}} = \frac{\pi }{{32}} - \frac{{25\sqrt 2 }}{{1296}} - \frac{1}{{16}}{\mathop{\rm arctg}\nolimits} (\sqrt 2 )\\
\int\limits_{\sqrt 2 }^\infty {\frac{{{t^2}dt}}{{{{({t^2} + 1)}^3}}}} = \frac{\pi }{{16}} - \frac{{\sqrt 2 }}{{72}} - \frac{1}{8}{\mathop{\rm arctg}\nolimits} (\sqrt 2 )
\end{array}\]$")
![$\[\int\limits_0^2 {{{(x + 1)}^2}\sqrt {6x - {x^2}} dx} = 657(\frac{\pi }{8} - \frac{{{\mathop{\rm arctg}\nolimits} (\sqrt 2 )}}{4}) - \frac{{683\sqrt 2 }}{{12}}\]$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/3/3/d/33d1891745a6e0722674e53b852fc2f182.png "$\[\int\limits_0^2 {{{(x + 1)}^2}\sqrt {6x - {x^2}} dx} = 657(\frac{\pi }{8} - \frac{{{\mathop{\rm arctg}\nolimits} (\sqrt 2 )}}{4}) - \frac{{683\sqrt 2 }}{{12}}\]$")
