Решить неравенство с параметром

[Albert Steiner]

Дано неравенство: $|x + 1| + 2|x + a| > 3 - 2x$. Нужно найти все такие a, что для любого x будет выполнятся данное неравенство.
Первое, что я делал - это раскрыл все модули в различных случаях. У меня получилось четыре неравенства и это дало мало чего хорошего. Один ответ был $a > 1$, а другой $a > 1 - 2x$, что неправильно. Как решить это неравенство с параметром? Непонятно, с чего нужно начинать и к чему стремиться.

[Nameless_2013]

Может быть, использовать геометрические образы в системе координат $xOa$?

[nnosipov]

Albert Steiner в сообщении #720053 писал(а):

Один ответ был a > 1

Это тоже неправильно.

Albert Steiner в сообщении #720053 писал(а):

Как решить это неравенство с параметром?

Есть простой способ решать подобные задачи с параметром --- координатно-параметрический метод. Суть в том, чтобы нарисовать в плоскости $(x,a)$ множество точек, координаты которых удовлетворяют этому неравенству.

[provincialka]

nnosipov в сообщении #720060 писал(а):

Есть простой способ решать подобные задачи с параметром --- координатно-параметрический метод. Суть в том, чтобы нарисовать в плоскости множество точек, координаты которых удовлетворяют этому неравенству.

Это сложновато, мне кажется.
Какой вид (примерно) имеет график левой части? Правой? Что означает неравенство?
Достаточно проверить его в характерных точках (каких?)

[nnosipov]

provincialka в сообщении #720069 писал(а):

Это сложновато, мне кажется.

Напротив, при таком подходе в этой задаче даже задуматься негде.

[matidiot]

Albert Steiner в сообщении #720053 писал(а):

Дано неравенство: $|x + 1| + 2|x + a| > 3 - 2x$. Нужно найти все такие a, что для любого x будет выполнятся данное неравенство.

Достаточно заметить, что минимальное значение левого выражения достигается при $x=-a$, таким образом задача сводится к решению неравенства $|-a + 1| > 3 + 2a$

[Albert Steiner]

Почитал про КП метод решения, честно сказать, не очень понравилось или я не особенно понял его, но еще поразбираюсь с ним.
matidiot, а как это заметить?

[provincialka]

matidiot в сообщении #720076 писал(а):

Albert Steiner в сообщении #720053 писал(а):

Дано неравенство: $|x + 1| + 2|x + a| > 3 - 2x$. Нужно найти все такие a, что для любого x будет выполнятся данное неравенство.

Достаточно заметить, что минимальное значение левого выражения достигается при $x=-a$, таким образом задача сводится к решению неравенства $|-a + 1| > 3 + 2a$

Одной минимальности мало: справа ведь не константа! Важен не столько минимум, сколько выпуклость левой части (т.е., ее "надграфика"). Поэтому одного выписанного неравенства мало: надо проверить еще одну точку.

-- 05.05.2013, 19:15 --

Albert Steiner в сообщении #720081 писал(а):

Почитал про КП метод решения, честно сказать, не очень понравилось или я не особенно понял его, но еще поразбираюсь с ним.
matidiot, а как это заметить?

А вы попробуйте нарисовать график левой части при разных $a$. В математике тоже важен эксперимент!
Из каких кусков состоит этот график? Где они состыкуются?

[matidiot]

provincialka в сообщении #720086 писал(а):

matidiot в сообщении #720076 писал(а):

Достаточно заметить, что минимальное значение левого выражения достигается при $x=-a$, таким образом задача сводится к решению неравенства $|-a + 1| > 3 + 2a$

Одной минимальности мало: справа ведь не константа! Важен не столько минимум, сколько выпуклость левой части (т.е., ее "надграфика"). Поэтому одного выписанного неравенства мало: надо проверить еще одну точку.

Достаточно! Выпуклость графика вниз не требует особого обоснования. Другая точка $x=-1$ не является точкой минимума из анализа угловых коэффициентов кусков ломаной - графика левой части!

[nnosipov]

matidiot в сообщении #720111 писал(а):

Достаточно!

Нет, не достаточно: возьмите $a=-1$.

[provincialka]

matidiot в сообщении #720111 писал(а):

Достаточно! Выпуклость графика вниз не требует особого обоснования. Другая точка $x=-1$ не является точкой минимума из анализа угловых коэффициентов кусков ломаной - графика левой части!

Да я не спорю про минимум. Просто ваше неравенство дает неверное решение, так как "правая прямая" может пересекать график левой части и не в точке минимума. так сказать, оттяпывает от нее кусочек по наклонной.

Кстати, углы наклона можно и не проверять: достаточно посчитать два значения и сравнить.

-- 05.05.2013, 20:20 --

nnosipov в сообщении #720074 писал(а):

provincialka в сообщении #720069 писал(а):

Это сложновато, мне кажется.

Напротив, при таком подходе в этой задаче даже задуматься негде.

То есть вы, не задумываясь, можете построить график пар решений $(x,a)$? Решила на компе, получается довольно замысловатая фигура, граница - ломаная с тремя точками излома!

[nnosipov]

provincialka в сообщении #720116 писал(а):

Решила на компе, получается довольно замысловатая фигура, граница - ломаная с тремя точками излома!

Вот видите, как повезло: ведь могло быть все четыре!

Естественно, всё делается на автопилоте, а главное --- очень трудно ошибиться.

-- Пн май 06, 2013 01:09:08 --

Конечно, бывают задачи, где дешевле всё-таки немного подумать. Вот пример такой задачи (думаю, ТС будет полезно её решить, хотя бы для тренировки): найдите все значения $a$, при каждом из которых уравнение

$$ 4x-|3x-|x+a||=9|x-1|$$

имеет хотя бы один корень.

[matidiot]

nnosipov в сообщении #720130 писал(а):

Конечно, бывают задачи, где дешевле всё-таки немного подумать. Вот пример такой задачи (думаю, ТС будет полезно её решить, хотя бы для тренировки): найдите все значения $a$, при каждом из которых уравнение

$$ 4x-|3x-|x+a||=9|x-1|$$

имеет хотя бы один корень.

Та же самая идея проходит, что и выше: функция

$$ f(x,a)=4x-|3x-|x+a||-9|x-1|$$

имеет теперь максимум (наибольшее значение) в точке $x=1$, поэтому достаточно решить неравенство $f(1,a)\ge 0$

[Praded]

Неравенство ТС проще переписать в виде $2|x+a|>3-2x-|x+1|$. Тогда оно становится совсем простым для решения его с использованием графических эскизов.

[TOTAL]

matidiot в сообщении #720166 писал(а):

Та же самая идея проходит, что и выше

Какая идея выше? Вам же указали, что $a=-1$ является решением неравенства $|-a+1|>3+2a,$ но при $a=-1$ исходное неравенство верно не для всех $x.$