Метод D-разбиений для определения границ параметров по устой

[eugrita]

Научился в Матлаб просто считать эти границы для 1 и 2 параметров (см. рис.)

-------------------------------------------------------------------

Однако проблема в том, что просто построить границы на компе мало. Надо найти в какой обл устойчивость.
Т.е. научить компьютер разбивать на обл. устойчивости?.
В теории делается это просто методом тыка. Берем точку- знач. параметра и определяем например по крит.Раусса-Гурвица
или другому устойчивость или нет.

[Andrei P]

eugrita в сообщении #717150 писал(а):

Научился в Матлаб просто считать эти границы для 1 и 2 параметров (см. рис.)

Однако проблема в том, что просто построить границы на компе мало. Надо найти в какой обл устойчивость.
Т.е. научить компьютер разбивать на обл. устойчивости?.
В теории делается это просто методом тыка. Берем точку- знач. параметра и определяем например по крит.Раусса-Гурвица
или другому устойчивость или нет.

Я не увидел вопроса в Вашем сообщении. Если научились строить границы областей, то это и есть области в различным "соотношением" корней. В каждой из областей одинаковое количество правых и левых корней. Достаточно проверить в одной точке.

[eugrita]

Видимо вопрос сформулирован обще. Поясню на конкретном примере
Пусть есть характеристический многочлен 3 порядка зависящий от 2 параметров u и v.
$f(s)=s^3+(4u+5)s^2+(6v+7)s+(6u+7v+3)$
Цель - найти границы и построить область устойчивости по этим параметрам.
В хар.многочлене заменяем $s на $jw$ т.е пишем
$f(jw)=R(w)+jI(w)$ где
$R(w)=-(4u+5)w^2+(6u+7v+3)$
$I(w)=-w^3+(6v+7)w$
Решая систему 2 линейн.уравн отн u и v получим параметрические зависимости
$u(w),v(w)$
$u=\frac{23w^2+31}{36-24w^2}$ $v=\frac{w^2-7}{6}$
в нашем случае это будет гипербола.
Все это сделать в матлабе - раз плюнуть.
Но если взять критерий Рауса-Гурвица для нашей системы он сведется к 3 неравенствам
$4u+5>0$
$(4u+5)(6v+7)-(6u+7v+3)>0$
$6u+7v+3>0$
2-неравенство совпадает с полученным выше из D-разбиения.
1-е и 3-е - две добавочные прямые. Картинка области устойчивости ниже.
Проблема лишь в технике на Матлабе. Можно конечно дописать m-файл чтобы в аналогичной модели 3 или 4 порядка строились границы по всем 3 неравенствам а не по одному. Но уж точно не смогу такую область заштриховать. Чтобы сделать такой рис после снимка расчета в матлаб я еще корячился в MS Paint

Когда я еще учился в МГУ не было даже матлаба. Такие штуки считались аналитически и рисовались качественные графики ручкой на бумаге.
Могу лишь похвастаться что нашим препом в САР был Яков Наумович Ройтенберг. (см. Википедию)
Как теперь понимаю- большой ученый, но тогда как студент был чайником и не знал о его заслугах

[eugrita]

добавил в программу функцию проверки устойчивости по крит.Гурвица. Входные параметры- u,v Думал что 2 точки по разную сторону криволинейной границы (годографа) имеют разный вид устойчивости-не тут то было.

Для данного рис точки с координатами $(u,v)=(0 ;0.5), (0 ; 0.8 ),(0.3 ; 1),(0 ; 0 ),(1;1),(0 ;2 ) $
показывает что все устойчивы. Почему?
Ведь разбиение сложное и лежат по разные стороны от границы?

[TR63]

eugrita в сообщении #717846 писал(а):

Но если взять критерий Рауса-Гурвица для нашей системы он сведется к 3 неравенствам

По Гурвицу, вроде, неравенств должно быть больше (все коэффициенты должны быть положительны). Кроме того, в общем случае теорема Гурвица ошибочна.

[eugrita]

Если коэф. характ. многочлена $a_3s^3+a_2s^2+a_1s+a_0=0$
то условия неотрицательности диагональных миноров матрицы Гурвица (их 3)
имеют вид
$a_2>0$
$a_2a_1-a_3a_0>0$
$(a_2a_1-a_3a_0)a_0>0$
из (2) и (3) можно вытащить более простое $a_0=0$

[TR63]

TR63 в сообщении #719174 писал(а):

По Гурвицу, вроде, неравенств должно быть больше (все коэффициенты должны быть положительны).

У Вас верно. Условие Стодолы выполняется автоматически. Но про ошибочность теоремы Гурвица не забывайте.

[eugrita]

дайте пожалуйста ссылку, где можно ознакомиться с ошибочностью теоремы Гурвица

[TR63]

eugrita,
контрпример был сообщён мной на форуме "Портал Естественных Наук" 27 декабря 2009г. (АТР). Сейчас с трудом его отыскала там. Поэтому дополнительно сообщаю Вам здесь коэффициенты того многочлена:
$a_0=1, a_1=6, a_2=12, a_3=15, a_4=39.25, a_5=9, a_6=9$

[eugrita]

Рисунок приведенной мной выше для обл устойчивости неточен.
Вот как я считаю более точный рис. сделанный в Матлаб с ручной штриховкой

Ошибкой являлось то что ранее не учел возвратную точку $w=0$
в результате вместо правой ветви гиперболы берем только ее часть при
$w>31/36=0.64$ и обл.устойчивости двухсвязна.
Приведенный выше другой рис с годографом в виде 8 также неточен
по причине наличия лишних паразитных линий, полученных из-за неупорядоченности по возрастанию выводимого на график массива u и v

[eugrita]

TR63 в сообщении #719438 писал(а):

eugrita,
контрпример был сообщён мной на форуме "Портал Естественных Наук" 27 декабря 2009г. (АТР). Сейчас с трудом его отыскала там. Поэтому дополнительно сообщаю Вам здесь коэффициенты того многочлена:
$a_0=1, a_1=6, a_2=12, a_3=15, a_4=39.25, a_5=9, a_6=9$

Пошел на этот форум, увидел ваш логин неактивированным, сообщение ваше не нашел. Что-то не знаком с ошибочностью теоремы Гурвица. Она декларируется во множестве методичек по ТАУ. , в Википедии.
Карты на стол или не верю

[TR63]

eugrita в сообщении #719676 писал(а):

Карты на стол или не верю

eugrita,
карты перед Вами (я сообщила здесь коэффициенты многочлена, являющегося контрпримером к теореме Гурвица). Не поняла, чему Вы не верите, что Вам не понятно. Изложите, пожалуйста, конкретнее.
(Логин АТР сейчас не действует, но действует логин TR63. Через него я сама с трудом нашла нужное сообщение. Повторяю, нашла. Оно на месте.)

[eugrita]

Вы начинаете индекс 0 со старшей степени? т.е
$1s^6+6s^5+12s^4+15s^3+39.25s^2+9s+9$

[TR63]

Да, так.

[eugrita]

сделал в матлаб расчет вашего примера (если правильно понял)

A -матрица Гурвица, D -все диагональн миноры - как видим они не все положительны, так что и собственные значения есть с отрицательной и положит веществ частями.
В чем контрпример? Или я ошибся?