2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2  След.
 
 Вопрос по теории множеств
Сообщение24.04.2013, 17:34 
Аватара пользователя


21/02/13
125
Санкт-Петербург
Верно ли следствие $|\mathbb N \times \mathbb R|=|\mathbb R \times \mathbb R| \Rightarrow |\mathbb N|=|\mathbb R|$?
Т.е, можно ли таким образом получить противоречие?

 Профиль  
                  
 
 Re: Вопрос по теории множеств
Сообщение24.04.2013, 17:38 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/05/06
13438
с Территории
Сократил один такой, ага. Положим, $|\mathbb N \times 2|=|\mathbb N|$, но это же не значит, что 2=1, э? Или да?

 Профиль  
                  
 
 Re: Вопрос по теории множеств
Сообщение24.04.2013, 17:39 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


12/06/09
951
Следствие неверно (вернее, ложно, во всяком случае, в теории множеств). Противоречие получить можно.

 Профиль  
                  
 
 Re: Вопрос по теории множеств
Сообщение24.04.2013, 17:41 
Аватара пользователя


11/06/12
10390
стихия.вздох.мюсли
ИСН в сообщении #715090 писал(а):
Положим, $|\mathbb N \times 2|=|\mathbb N|$
Не $|\mathbb N \times 2|$, а $|\mathbb N \times \{2\}|$ ;-P

 Профиль  
                  
 
 Re: Вопрос по теории множеств
Сообщение24.04.2013, 17:42 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


12/06/09
951
То, что написал ИСН, тоже верно.

 Профиль  
                  
 
 Re: Вопрос по теории множеств
Сообщение24.04.2013, 17:43 
Аватара пользователя


21/02/13
125
Санкт-Петербург
olenellus в сообщении #715091 писал(а):
Следствие неверно (вернее, ложно, во всяком случае, в теории множеств). Противоречие получить можно.


Не подскажете, каким путём можно его получить?

 Профиль  
                  
 
 Re: Вопрос по теории множеств
Сообщение24.04.2013, 17:44 
Аватара пользователя


11/06/12
10390
стихия.вздох.мюсли
olenellus в сообщении #715095 писал(а):
То, что написал ИСН, тоже верно.
Да? Как построить декартово произведение натурального ряда и числа два? Тут ведь первый множитель — множество, второй — число.

 Профиль  
                  
 
 Re: Вопрос по теории множеств
Сообщение24.04.2013, 17:45 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/05/06
13438
с Территории
Ой, ну поехали придираться, ну.

 Профиль  
                  
 
 Re: Вопрос по теории множеств
Сообщение24.04.2013, 17:49 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


12/06/09
951
sopor в сообщении #715096 писал(а):
Не подскажете, каким путём можно его получить?

Ну, напирмер, стартуя с аксиом теории множеств, доказать, что $\aleph_0<2^{\aleph_0}$. Ничего больше не делая, получаем противоречие.

Aritaborian в сообщении #715097 писал(а):
olenellus в сообщении #715095 писал(а):
То, что написал ИСН, тоже верно.
Да? Как построить декартово произведение натурального ряда и числа два? Тут ведь первый множитель — множество, второй — число.

Число два можно рассматривать как множество $\{\{\varnothing\},\varnothing\}$

 Профиль  
                  
 
 Re: Вопрос по теории множеств
Сообщение24.04.2013, 17:54 
Аватара пользователя


11/06/12
10390
стихия.вздох.мюсли
ИСН в сообщении #715098 писал(а):
Ой, ну поехали придираться, ну.
Я просто подколоть хотел, а не придираться. Простите дурака ;-)
olenellus в сообщении #715102 писал(а):
Число два можно рассматривать как множество $\{\{\varnothing\},\varnothing\}$
Знаю. Но такое рассмотрение, как правило, оговаривается особо.
Ну вот, снова получается, что придираюсь :facepalm:

 Профиль  
                  
 
 Re: Вопрос по теории множеств
Сообщение24.04.2013, 18:31 
Заслуженный участник


09/05/08
1155
Новосибирск
Aritaborian в сообщении #715104 писал(а):
olenellus в сообщении #715102 писал(а):
Число два можно рассматривать как множество $\{\{\varnothing\},\varnothing\}$
Знаю. Но такое рассмотрение, как правило, оговаривается особо.
Но не в вопросе, имеющем непосредственное отношение к теории множеств, где особенно хорошо известно, что все на свете -- множества.
Aritaborian в сообщении #715104 писал(а):
Ну вот, снова получается, что придираюсь
Ага. :-)
sopor в сообщении #715087 писал(а):
Верно ли следствие $|\mathbb N \times \mathbb R|=|\mathbb R \times \mathbb R| \Rightarrow |\mathbb N|=|\mathbb R|$?
Вы будете смеяться, но если хотя бы одно из множеств $A$ и $B$ бесконечно, то $|A\times B|=|A\cup B|=|A|+|B|=\max\{|A|,|B|\}$. Вот такая она веселая, арифметика кардинальная.

 Профиль  
                  
 
 Re: Вопрос по теории множеств
Сообщение24.04.2013, 18:37 
Аватара пользователя


21/02/13
125
Санкт-Петербург
Насколько я понимаю, на плоскости $\mathbb N \times \mathbb R$ это счётное число прямых, а $\mathbb R \times \mathbb R$ - это континуальное число прямых (вся плоскость). Это можно считать противоречием?

 Профиль  
                  
 
 Re: Вопрос по теории множеств
Сообщение24.04.2013, 18:41 
Заслуженный участник


09/05/08
1155
Новосибирск
sopor в сообщении #715120 писал(а):
Насколько я понимаю, на плоскости $|\mathbb N \times \mathbb R|$ это счётное число прямых, а $|\mathbb R \times \mathbb R|$ - это континуальное число прямых (вся плоскость). Это можно считать противоречием?
Противоречием с чем? С теорией множеств? Или с неверным заключением? Равенство $|\mathbb N\times\mathbb R|=|\mathbb R\times\mathbb R|$ -- верное (и то, и другое -- континуум, $|\mathbb R|$), а равенство $|\mathbb N|=|\mathbb R|$ -- неверное. Противоречие с чем Вы хотите получить?

 Профиль  
                  
 
 Re: Вопрос по теории множеств
Сообщение24.04.2013, 18:55 
Аватара пользователя


21/02/13
125
Санкт-Петербург
Я решал задачу, и подсчитал количество точек двумя способами. Но ведь каким способом ни считай, точек-то столько же. Получилось, что мощности этих множеств должны совпадать, я и думал, что это - противоречие. Мне не верится, что в счётном числе прямых точек столько же, сколько во всей плоскости...

 Профиль  
                  
 
 Re: Вопрос по теории множеств
Сообщение24.04.2013, 19:06 
Заслуженный участник


09/05/08
1155
Новосибирск
sopor в сообщении #715126 писал(а):
Мне не верится, что в счётном числе прямых точек столько же, сколько во всей плоскости...
Более того, во всей плоскости столько же точек, сколько их в одной единственной прямой. Попробуйте на досуге это доказать. Это на самом деле несложно. Нужно всего лишь придумать такой способ "склейки" пары вещественных чисел в одно число, чтобы разные пары склеивались в разные числа.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 22 ]  На страницу 1, 2  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group