Вопрос по теории множеств

[sopor]

Верно ли следствие $|\mathbb N \times \mathbb R|=|\mathbb R \times \mathbb R| \Rightarrow |\mathbb N|=|\mathbb R|$?
Т.е, можно ли таким образом получить противоречие?

[ИСН]

Сократил один такой, ага. Положим, $|\mathbb N \times 2|=|\mathbb N|$, но это же не значит, что 2=1, э? Или да?

[olenellus]

Следствие неверно (вернее, ложно, во всяком случае, в теории множеств). Противоречие получить можно.

[Aritaborian]

ИСН в сообщении #715090 писал(а):

Положим, $|\mathbb N \times 2|=|\mathbb N|$

Не $|\mathbb N \times 2|$, а $|\mathbb N \times \{2\}|$ ;-P

[olenellus]

То, что написал ИСН, тоже верно.

[sopor]

olenellus в сообщении #715091 писал(а):

Следствие неверно (вернее, ложно, во всяком случае, в теории множеств). Противоречие получить можно.

Не подскажете, каким путём можно его получить?

[Aritaborian]

olenellus в сообщении #715095 писал(а):

То, что написал ИСН, тоже верно.

Да? Как построить декартово произведение натурального ряда и числа два? Тут ведь первый множитель — множество, второй — число.

[ИСН]

Ой, ну поехали придираться, ну.

[olenellus]

sopor в сообщении #715096 писал(а):

Не подскажете, каким путём можно его получить?

Ну, напирмер, стартуя с аксиом теории множеств, доказать, что $\aleph_0<2^{\aleph_0}$. Ничего больше не делая, получаем противоречие.

Aritaborian в сообщении #715097 писал(а):

olenellus в сообщении #715095 писал(а):

То, что написал ИСН, тоже верно.

Да? Как построить декартово произведение натурального ряда и числа два? Тут ведь первый множитель — множество, второй — число.

Число два можно рассматривать как множество $\{\{\varnothing\},\varnothing\}$

[Aritaborian]

ИСН в сообщении #715098 писал(а):

Ой, ну поехали придираться, ну.

Я просто подколоть хотел, а не придираться. Простите дурака

olenellus в сообщении #715102 писал(а):

Число два можно рассматривать как множество $\{\{\varnothing\},\varnothing\}$

Знаю. Но такое рассмотрение, как правило, оговаривается особо.
Ну вот, снова получается, что придираюсь

[AGu]

Aritaborian в сообщении #715104 писал(а):

olenellus в сообщении #715102 писал(а):

Число два можно рассматривать как множество $\{\{\varnothing\},\varnothing\}$

Знаю. Но такое рассмотрение, как правило, оговаривается особо.

Но не в вопросе, имеющем непосредственное отношение к теории множеств, где особенно хорошо известно, что все на свете -- множества.

Aritaborian в сообщении #715104 писал(а):

Ну вот, снова получается, что придираюсь

Ага.

sopor в сообщении #715087 писал(а):

Верно ли следствие $|\mathbb N \times \mathbb R|=|\mathbb R \times \mathbb R| \Rightarrow |\mathbb N|=|\mathbb R|$?

Вы будете смеяться, но если хотя бы одно из множеств $A$ и $B$ бесконечно, то $|A\times B|=|A\cup B|=|A|+|B|=\max\{|A|,|B|\}$. Вот такая она веселая, арифметика кардинальная.

[sopor]

Насколько я понимаю, на плоскости $\mathbb N \times \mathbb R$ это счётное число прямых, а $\mathbb R \times \mathbb R$ - это континуальное число прямых (вся плоскость). Это можно считать противоречием?

[AGu]

sopor в сообщении #715120 писал(а):

Насколько я понимаю, на плоскости $|\mathbb N \times \mathbb R|$ это счётное число прямых, а $|\mathbb R \times \mathbb R|$ - это континуальное число прямых (вся плоскость). Это можно считать противоречием?

Противоречием с чем? С теорией множеств? Или с неверным заключением? Равенство $|\mathbb N\times\mathbb R|=|\mathbb R\times\mathbb R|$ -- верное (и то, и другое -- континуум, $|\mathbb R|$), а равенство $|\mathbb N|=|\mathbb R|$ -- неверное. Противоречие с чем Вы хотите получить?

[sopor]

Я решал задачу, и подсчитал количество точек двумя способами. Но ведь каким способом ни считай, точек-то столько же. Получилось, что мощности этих множеств должны совпадать, я и думал, что это - противоречие. Мне не верится, что в счётном числе прямых точек столько же, сколько во всей плоскости...

[AGu]

sopor в сообщении #715126 писал(а):

Мне не верится, что в счётном числе прямых точек столько же, сколько во всей плоскости...

Более того, во всей плоскости столько же точек, сколько их в одной единственной прямой. Попробуйте на досуге это доказать. Это на самом деле несложно. Нужно всего лишь придумать такой способ "склейки" пары вещественных чисел в одно число, чтобы разные пары склеивались в разные числа.