Простая задача (теория чисел)

[Pyphagor]

Каким может быть произведение нескольких различных простых чисел, если оно кратно каждому из них уменьшенному на 1? Найти все такие произведения.
Мой ответ 6?

[ИСН]

Так-таки все? А если 6 ещё умножить на 7? А дальше...

[RIP]

http://www.nsu.ru/phorum/read.php?f=29&i=2181&t=2097

[Pyphagor]

Прочитаем условие еще раз:
Каким может быть произведение нескольких различных простых чисел,
если оно кратно каждому из них, уменьшенному на 1. Найдите все
возможные произведения.
Пусть p=p[1]p[2]..p[n]. Раз р кратно р[i]-1,то, я так понимаю-
р делится на р[i]-1. Если вы согласны, то вот мое решение:
имеем р=p[1]..p[n]= k(p[1]-1)..(p[n]-1), k-натуральное. Нужно
найти все р. Очевидно, что n>=2.
Если среди р[i] отсутствует 2, то как легко видеть слева
нечетное число , а справа четное число. Следовательно одно из них,
например p[1], равно 2
Перепишем, получим 2p[2]..p[n]=k(p[2]-1)..(p[n]-1),
однако при n>=3, опять-таки слева число делится на 2, а справа
делится на 4. Т.е. n=2; равенство 2t=k(t-1) имеет в натуральных
числах решение k[1]=3, k[2]=4 и соответсвенно t[1]=3 t[2]=2.
Итак, мы нашли p[1]=2 и p[2]=3. Откуда ответ р=6.
P.S. Очевидно, что неправильно записано первое равенство.
Запишите правильно, чтобы мне удалось решить задачу правильно.

[ИСН]

Pyphagor, чего Вы добиваетесь? Если мало моего намёка, то по ссылке, приведённой RIP, задача разобрана до мельчайших деталей. В Ваших формулах разбираться не хочется, ибо, записанные текстом, они вызывают у меня тоску и уныние (и смею надеяться, я в этом не одинок). Возьмите прямо сейчас число 42 и проверьте, подходит ли оно под условие. Hope this helps.

[Pyphagor]

Что значит возьмите и проверте число 42???
Да не кажется ли Вам, что в том-то и дело, что не удается никак получить!!!
А ваша тоска да уныние, не сочтите за грубость, по-моему, вызывается нежеланием помочь!

[RIP]

Pyphagor писал(а):

имеем р=p[1]..p[n]= k(p[1]-1)..(p[n]-1), k-натуральное.

Это неверно. Из того, что p делится на каждое из p[i]-1, не следует, что оно делится на их произведение.

Pyphagor писал(а):

Что значит возьмите и проверте число 42???

То и значит, что возьмите и убедитесь, что число $42=2\cdot3\cdot7$ удовлетворяет условиям задачи.

P.S. Вы пробовали сходить по ссылке, которую я приводил?

[Pyphagor]

Благодарю Вас Rip. А на ссылке больше разглагольствования, чем решения.

[RIP]

Решение основано на такой идее. Если $n=p_1p_2\ldots p_k$ удовлетворяет условию, причём $p_1<\ldots<p_k$, то $n/p_k$ также удовлетворяет условию. Кроме того, $p_k-1$ должно делить $n/p_k$. Поэтому все "хорошие" $n$ можно искать последовательно: сначала с $k=1$, потом с $k=2$, итд. В какой-то момент Вы уже не сможете продвигаться дальше, поскольку не сможете подобрать $p_k$.