Почему простейшей из линий является прямая?

[Aritaborian]

(Оффтоп)

Ales в сообщении #715521 писал(а):

ведь без чисел математика не работает

Вредное заблуждение.

[Sender]

JMH в сообщении #715506 писал(а):

Извольте: пусть существует некое транзитивное отношение $\mathit{R}$ на множестве точек кривой. Назовём равноправными такие точки $\mathbf{x}$ и $\mathbf{y}$, для которых $\mathbf{x}\mathit{R}\mathbf{y}$.

Не совсем понятное определение. Пусть задана некоторая кривая $K$ и у нас есть такое отношение: $xRy$={$x$ и $y$ лежат на кривой $K$}. Очевидно, оно будет транзитивным. Но разве оно имеет место не для любой кривой $K$?

[JMH]

Вы выбрали самое грубое отношение эквивалентности, которое можно определить на множестве, оно, безусловно, неинтересно.

[Sender]

И каким отношением задаётся, к примеру, винтовая линия, ранее упоминавшаяся в теме?

[Shtorm]

Ktina в сообщении #714267 писал(а):

Почему простейшей из линий является прямая?
Что понимать под простотой линии?
Можно ли дать математическое определение простоте?

Как вариант, предлагаю так: Кривизна прямой постоянна во всех точках и равна нулю - следовательно прямая проста.

[arseniiv]

JMH в сообщении #715506 писал(а):

Ну неужели такой любитель головоломок, как Вы не может понять такую простую фразу? Или, может быть, Вам не понять нужно, а прицепиться? Извольте: пусть существует некое транзитивное отношение $\mathit{R}$ на множестве точек кривой. Назовём равноправными такие точки $\mathbf{x}$ и $\mathbf{y}$, для которых $\mathbf{x}\mathit{R}\mathbf{y}$.

Теперь понятно. Так бы и написали: «вхождение в транзитивное отношение».

Только, мне кажется, транзитивных отношений можно всяких напридумывать на кривых. Например, полное — декартов квадрат того множеста точек кривой.

-- Пт апр 26, 2013 18:25:20 --

(Оказалось, я повторяю уже предложенное. Только не понятно тогда, какое отношение будет подходящим, а какое нет. Его определение тоже нужно.)

Мне кажется, надо как-то обобщить такое: кривая (если она погружена в какое-то пространство) чем-то хороша, если есть такое движение пространства, которое совмещает её с собой и переводит любую данную её точку в любую другую. (Оно может оказаться слишком узким (хотя подходит для винтовой линии и её вырожденных случаев), потому и предлагаю обобщить.)

А если мы рассматриваем никуда не вложенную кривую или поверхность…

-- Пт апр 26, 2013 18:26:59 --

Shtorm в сообщении #715773 писал(а):

Как вариант, предлагаю так: Кривизна прямой постоянна во всех точках и равна нулю - следовательно прямая проста.

Слишком узко и зависит от понятия кривизны.

[Aritaborian]

Вспомнилось. Кажется, у МГ читал. Какой формы должно быть холодное оружие, чтобы его можно было вложить в ножны?
Есть три варианта:
— отрезок прямой;
— дуга окружности;
— участок винтовой линии.
Больше вариантов нет.

[Denis Russkih]

Aritaborian в сообщении #715856 писал(а):

Какой формы должно быть холодное оружие, чтобы его можно было вложить в ножны?

Треугольник? Трапеция? Овал? По-моему, вариантов полно. :)

[Aritaborian]

Овал? Это как? И потом, мы ведём речь о кривой, а не о плоской фигуре.

[Shtorm]

arseniiv в сообщении #715774 писал(а):

Слишком узко и зависит от понятия кривизны.

Какое бы понятие кривизны мы не взяли, для прямой всегда выйдет нуль. Для плоскости тоже. Так что по моему определению плоскость - тоже проста, что и логично.

-- Пт апр 26, 2013 17:36:21 --

Denis Russkih, чтобы бы "кривая" вошла в ножны у этой кривой кривизна должна быть постоянна во всех точках.

[Denis Russkih]

Aritaborian в сообщении #715863 писал(а):

Овал? Это как?

Да просто металлический овал с острой кромкой. Хватаешь двумя пальцами и кидаешь во врага. Вместе с пальцами. :)

Aritaborian в сообщении #715863 писал(а):

И потом, мы ведём речь о кривой, а не о плоской фигуре.

Хм, возможно, я просто не понял, о чём речь.

Aritaborian в сообщении #715856 писал(а):

— отрезок прямой;

Разве прямое лезвие — это не плоская фигура? :) Ну, если не считать всяких канавок.

А вообще, в ножны можно вложить любое оружие, хоть гаубицу, если это ножны великана. :)

[Shtorm]

Denis Russkih, ну понятно, что речь шла об абстрактной математической задачке, где именно отрезок кривой вкладывается в ножны, представляющие из себя тоже отрезок кривой.

[arseniiv]

Shtorm в сообщении #715867 писал(а):

arseniiv в сообщении #715774 писал(а):

Слишком узко и зависит от понятия кривизны.

Какое бы понятие кривизны мы не взяли, для прямой всегда выйдет нуль. Для плоскости тоже. Так что по моему определению плоскость - тоже проста, что и логично.

Имел в виду, что кривизна мне кажется более частным понятием чем «хорошесть» кривой. Если принять определение, которое я выдумал, то постоянство кривизны будет из него следовать. И постоянство кручения. Будет ли из их постоянства следовать моё, сразу не соображу.

Aritaborian в сообщении #715856 писал(а):

Вспомнилось. Кажется, у МГ читал. Какой формы должно быть холодное оружие, чтобы его можно было вложить в ножны?

Интересно, она обобщается единственным образом на поверхности? Так кажется, что да, и что решением будет что-то аналогичное винтовой линии, в чьи вырожденные случаи должны входить сфера, цилиндр и плоскость.

[Legioner93]

arseniiv в сообщении #715936 писал(а):

Если принять определение, которое я выдумал, то постоянство кривизны будет из него следовать. И постоянство кручения. Будет ли из их постоянства следовать моё, сразу не соображу.

Разумеется будет, о чём я уже написал на 4 странице данной темы, вы, наверное, пропустили. Дело в том, что натуральные уравнения однозначно задают трёхмерную кривую (с точностью до движения пространства).
А так как для $x=a \cos{t}, \ y=a \sin{t}, \ z=bt$ получаем кривизну $k_1=\frac{a}{a^2+b^2}$ и кручение $k_2=\frac{b}{a^2+b^2}$ - постоянные числа, то вкупе с условием однозначности находим, что других кривых с постоянными кривизной и кручением не существует.

[arseniiv]

Ой, точно. Тогда я, может быть, что-то другое хотел иметь в виду, но сейчас не помню.