Матмодель реального размножения кошек

[myreg2012]

Извините, я не математик, но не смог точно аналитически решить простейшую практическую задачу.

Затруднение в том, что не могу сообразить, как применить формулу геометрической прогрессии - здесь получается не простая прогрессия, а что-то хитрое...

Считая вручную я получил последовательность кошек
2, 6, 10, 14, 26, 46, 74, 126, 218, ... но в виде формулы оформить это не могу...

Говорят, пара кошек за 6 лет даст 420 тыс. котят. Решил проверить. Если считать тупо геом. прогрессию с первым членом b1=2 и степенью q=2, n=18 (кошка рожает три раза в год, 3*6 лет = 18 раз), и тупо считать, что едва родившись котята МГНОВЕННО размножаются, получится 524 286 кошек...

Но родить кошка может только спустя 8,5 мес (6 мес. взросление, 2,5 мес - беременность). Интересно бы построить математическую модель, учитывающую эти (может быть и другие) факторы...

Простите, если это элементарно и помогите, кто профи! :))

Сколько котят дадут 2 кошки? Не тупо геом пр, а учитывая взросление (6мес) и беременность (10 нед)? Вывести формулу...

Есть пара взрослых половозрелых особей (кот и кошка). В момент времени t=0 они рожают 4 котят (два кота, две кошки).

Допустим, половозрелой родившаяся пара станет через 6 мес. Сразу после этого кошка забеременеет и родит через 2,5 мес (10 недель) с этого момента.

Пара всегда рожает 4 котят (2 кота, 2 кошки). Но это происходит через 8,5 мес (6 мес взросление, 2,5 мес беременность).

Вывести общую формулу общего числа кошек в зависимости от
Исходного числа половозрелых кошек (мы допускали с двух, но интересно начинать с любого кол-ва)
Сколько рожают за раз (мы допускали 4)
Через сколько взрослеют и рожают…
Какой состав популяции через n лет (сколько кошек в каком возрасте, сколько из них половозрелых, сколько неполовозрелых, сколько беременных, но еще не родивших)...

Интересно бы увидеть формулу (модель) в аналитическом виде…

У меня не получилось ее составить…

[provincialka]

Тут скорее рекуррентное соотношение. Посмотрите в литературе "последовательность Фибоначчи", там, правда, кролики размножаются.

Для последовательностей типа Фибоначчи есть и аналитическое выражение, только там иррациональности используются.

[Tookser]

По-хорошему, нужно учесть смертность в реккурентной модели, допустим, $a_k=\dots-a_{k-3}$

[ewert]

Послушайте: как такая замечательная тема могла пролететь мимо правильного раздела (там, где-то в самом низу)?... Уму непостижимо...

[Toucan]

Тема перемещена из форума «Прочее» в форум «Помогите решить / разобраться (М)»

[Евгений Машеров]

Обозначим $x_t$ число пар кошек, рождённых в момент времени t (в дальнейшем делается не вполне реальное предположение, что всегда рождается ровно две, притом разнополые, пары, и поэтому можно всё время считать в парах). Время считаем дискретной переменной, причём за единицу берём полмесяца. Промежуток между беременностями, после первой, берём 4 месяца (8 отсчётов)
Тогда $x_t=2(x_{t-17}+x_{t-25}+x_{t-33}+\cdots+x_{t-137})$ (полагаем, что более нашего горизонта исследования кошки не живут)
Это уравнение в конечных разностях. Для его решения строится вспомогательное алгебраическое уравнение
$y^{137}-2y^{120}-2y^{112}-\cdots-2=0$
Решение уравнения в конечных разностях будет выражаться через корни вспомогательного уравнения в соответствующей степени (тут очень похоже на поведение линейных дифуравнений, только вместо экспонент - степени корней). Правда, надо ещё проверить, не будут ли кратные корни.
Действительные положительные корни при этом соответствуют экспоненциальному росту (или затуханию, если меньше единицы), комплексные - затухающим или нарастающим (в зависимости от величины модуля корня) колебаниям, отрицательные - также колебаниям с периодом 2.
Впрочем, в данном случае, если интересует не общий характер поведения решения, а просто ответ на заданный вопрос - "получится ли 420 тысяч котят?", проще посчитать непосредственно.
У меня получилось 165374, если в момент времени t=0 у нас пара котят, которые только через 6 месяцев достигнут половой зрелости, 665062, если при t=0 они уже рожают первые две пары котят, и 177974, если t=0 соответствует моменту зачатия первой пары.

[ИСН]

myreg2012 в сообщении #712169 писал(а):

Говорят, пара кошек за 6 лет даст 420 тыс. котят. Решил проверить.

Вообразил, что речь идёт о проверке на практике. Дальше читать не смог.