2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




 
 Что это за теорема (про периодичность)?
Сообщение11.04.2013, 02:00 
Как называется следующая теорема? Где можно посмотреть её доказательство?

Теорема. Если $M$ - конечное множество и $f$ - функция из $M$ в $M$. Тогда для любого $x\in M$ последовательность $x$, $f(x)$, $f(f(x))$, ... будет периодична.

 
 
 
 Re: Что это за теорема (про периодичность)?
Сообщение11.04.2013, 02:37 
Аватара пользователя
Разве доказательство не очевидно?
Как называется, не знаю. А формулировка, по-моему, другая: последовательность $x$, $f(x)$, $f(f(x))$, ... будет периодична, начиная с некоторого члена.

 
 
 
 Re: Что это за теорема (про периодичность)?
Сообщение11.04.2013, 02:53 
Aritaborian в сообщении #708444 писал(а):
Разве доказательство не очевидно?

Справедливость теоремы очевидна, само доказательство - нет.

Aritaborian в сообщении #708444 писал(а):
Как называется, не знаю.

А где его в учебнике посмотреть можно?

Aritaborian в сообщении #708444 писал(а):
будет периодична, начиная с некоторого члена

Да, именно "начиная с некоторого члена". Для этого понятие предпериода вводят.

 
 
 
 Re: Что это за теорема (про периодичность)?
Сообщение11.04.2013, 03:33 
Это следствие из принципа Дирихле.

 
 
 
 Re: Что это за теорема (про периодичность)?
Сообщение11.04.2013, 04:09 
Можно более подробно, как именно следует?

 
 
 
 Re: Что это за теорема (про периодичность)?
Сообщение11.04.2013, 04:28 
В последовательности $x_0=x$, $x_k=f(x_{k-1})$ обязательно найдутся такие $m, n$, что $x_n=x_m$.

 
 
 
 Re: Что это за теорема (про периодичность)?
Сообщение11.04.2013, 07:20 
Аватара пользователя
A'Y в сообщении #708446 писал(а):
Справедливость теоремы очевидна, само доказательство - нет.

Такое бывает?

 
 
 
 Re: Что это за теорема (про периодичность)?
Сообщение11.04.2013, 19:50 
Так речь про повторение только одного значения, т.е. прямо принцип Дирихле?
Я думал, что речь идёт о том, что начиная с некоторого члена всё поведение функции будет повторятся. Я ошибался?

 
 
 
 Re: Что это за теорема (про периодичность)?
Сообщение11.04.2013, 19:58 
Аватара пользователя
Так все последующие члены определяются единственным значением.
Как только некоторое число встретится раз и ещё раз, то этот кусок (без одного из крайних повтороц) и будет повторяться дальше и дальше.

 
 
 
 Re: Что это за теорема (про периодичность)?
Сообщение11.04.2013, 19:58 
A'Y в сообщении #708790 писал(а):
Так речь про повторение только одного значения, т.е. прямо принцип Дирихле?
Я думал, что речь идёт о том, что начиная с некоторого члена всё поведение функции будет повторятся. Я ошибался?
Если $x_n=x_m$, то $x_{n+1}=f(x_n)=f(x_m)=x_{m+1}$. По той же причине $x_{n+2}=x_{m+2}$ и т.д. Как видите, "поведение повторяется".

 
 
 
 Re: Что это за теорема (про периодичность)?
Сообщение11.04.2013, 20:01 
Аватара пользователя
Начиная с некоторой итерации, система впадёт в цикл, который будет повторяться бесконечно. Длина же этого цикла может варьироваться от $1$ (система станет стабильна) до $|M|$ (это значит, что система с самой первой итерации проявляет периодическое поведение).

 
 
 
 Re: Что это за теорема (про периодичность)?
Сообщение11.04.2013, 20:02 
gris, AGu, спасибо!

 
 
 [ Сообщений: 12 ] 


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group