2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




 
 вопрос по теории меры
Сообщение07.04.2013, 23:48 
Аватара пользователя
а) существует ли такое открытое множество $A_n\subseteq{R}$, что $\lambda(A_n)<\frac{1}{n}$ и $\bar{A}=R$

может это глупо но разве \varnothing не подходит под это определения? ну как если A_1=A_2=....= \varnothing

б) доказать, что если А измеримое(по Лебегу) множество и мера(Лебега) $\lambda(A)<\infty$ то функция определенная следующим образом
$f(x)=\lambda(A\cap(-\infty, x))$ - непрерывна.
(функция $R\to R$)

доказывать непрерывность - но не в лоб же?
как-то надо использовать свойства меры для доказательства. буду рад подсказке в нужном направлении.

 
 
 
 Re: вопрос по теории меры
Сообщение08.04.2013, 00:34 
Аватара пользователя
tavrik в сообщении #707136 писал(а):
а) существует ли такое открытое множество $A_n\subseteq{R}$, что $\lambda(A_n)<\frac{1}{n}$ и $\bar{A}=R$
может это глупо но разве \varnothing не подходит под это определения? ну как если A_1=A_2=....= \varnothing


$\overline \varnothing =\varnothing\neq \mathbb R$.

tavrik в сообщении #707136 писал(а):
как-то надо использовать свойства меры для доказательства. буду рад подсказке в нужном направлении.


Достаточно свойства монотонности (если мы увеличим множество, то его мера может разве лишь увеличиться). Посмотрите на $f(x_2)-f(x_1)$ для достаточно близких $x_1$, $x_2$ и оцените через что-нибудь.

 
 
 
 Re: вопрос по теории меры
Сообщение08.04.2013, 08:01 
Аватара пользователя
как то первое поставило в тупик.
разве R и пустое множество не дополняют друг друга?

 
 
 
 Re: вопрос по теории меры
Сообщение08.04.2013, 08:06 
Аватара пользователя
В первом имеется в виду замыкание, а не дополнение. Вот что там понимается под $A$?
Вот бы пересечение или любое $A_n$. Тогда используем сепарабельность.

 
 
 
 Re: вопрос по теории меры
Сообщение08.04.2013, 09:20 
a) Придумайте покрытие множества $\mathbb Q$ счетным семеством открытых интервалов суммарной меры не больше заданной.
б) Воспользуйтесь сигмааддитивностью и монотонностью меры Лебега, неубыванием функции, пределом по Гейне.

 
 
 [ Сообщений: 5 ] 


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group