вопрос по теории меры

[tavrik]

а) существует ли такое открытое множество $A_n\subseteq{R}$, что $\lambda(A_n)<\frac{1}{n}$ и $\bar{A}=R$

может это глупо но разве \varnothing не подходит под это определения? ну как если A_1=A_2=....= \varnothing

б) доказать, что если А измеримое(по Лебегу) множество и мера(Лебега) $\lambda(A)<\infty$ то функция определенная следующим образом
$f(x)=\lambda(A\cap(-\infty, x))$ - непрерывна.
(функция $R\to R$)

доказывать непрерывность - но не в лоб же?
как-то надо использовать свойства меры для доказательства. буду рад подсказке в нужном направлении.

[g______d]

tavrik в сообщении #707136 писал(а):

а) существует ли такое открытое множество $A_n\subseteq{R}$, что $\lambda(A_n)<\frac{1}{n}$ и $\bar{A}=R$
может это глупо но разве \varnothing не подходит под это определения? ну как если A_1=A_2=....= \varnothing

$\overline \varnothing =\varnothing\neq \mathbb R$.

tavrik в сообщении #707136 писал(а):

как-то надо использовать свойства меры для доказательства. буду рад подсказке в нужном направлении.

Достаточно свойства монотонности (если мы увеличим множество, то его мера может разве лишь увеличиться). Посмотрите на $f(x_2)-f(x_1)$ для достаточно близких $x_1$, $x_2$ и оцените через что-нибудь.

[tavrik]

как то первое поставило в тупик.
разве R и пустое множество не дополняют друг друга?

[gris]

В первом имеется в виду замыкание, а не дополнение. Вот что там понимается под $A$?
Вот бы пересечение или любое $A_n$. Тогда используем сепарабельность.

[VladimirKr]

a) Придумайте покрытие множества $\mathbb Q$ счетным семеством открытых интервалов суммарной меры не больше заданной.
б) Воспользуйтесь сигмааддитивностью и монотонностью меры Лебега, неубыванием функции, пределом по Гейне.