идеалы колец

[Naatikin]

Добрый день сообщество.
Меня снова клинит
не могу разобраться с тем, что такое простой идеал
определение следующее если $I \neq A$ и из $ab\in I$ следует $a\in I$ или $b\in I$.
Так же есть определение: идеал $B$ кольца $A$ называется простым, когда кольцо классов вычетов является целостным, те нет нулей и справедливо из $ab \equiv 0(\mod B), a\neq 0$ следует $b =0$.

Приведите пример простых идеалов для $Z/nZ$, для $n = 7, 8, 10$.

[Chernoknizhnik]

Naatikin в сообщении #706908 писал(а):

Так же есть определение: идеал $B$ кольца $A$ называется простым, когда кольцо классов вычетов является целостным, те нет нулей и справедливо из $ab \equiv 0(\mod B), a\neq 0$ следует $b =0$.

Вы не можете понять эквивалентность этих определений? Возьмите и просто выпишете, как связано равенство нулю класса эквивалентности в $A/B$, где $B$ - идеал, с представителями этого класса.
Чтобы найти простые идеалы в $Z/nZ$, докажите, что прообраз простого идеала при гомоморфизме - снова простой идеал (верно ли это для максимальных идеалов?)

[Naatikin]

Chernoknizhnik
нет, мне нужно просто пример конкретный, чтобы разобраться.

[Chernoknizhnik]

Пожалуйста, конкретный пример: идеал $\alpha=mZ$ прост в кольце целых чисел тогда и только тогда, когда $m$ - простое число.

[Naatikin]

Chernoknizhnik в сообщении #706932 писал(а):

Пожалуйста, конкретный пример: идеал $\alpha=mZ$ прост в кольце целых чисел тогда и только тогда, когда $m$ - простое число.

да, это мне известно
напишите пож-та простые идеалы для $Z/7Z$, $Z/8Z$, $Z/10Z$.

[AV_77]

Вы сначала все идеалы выпишите, а потом отберите простые. В вашем случае это не сложно, благо идеалов всего ничего.

[Naatikin]

Так вроде собственных идеалов для n=7 нет, для 8: $(0,4), (0,2,4,6)$, для 10: $(0,5), (0,2,4,6,8)$.
Они все простые?

[AV_77]

По определению смотрите. Например, для $\mathbb{Z} / 8 \mathbb{Z}$ рассмотрим идеал $(4) = \{0, 4 \}$. Является ли он простым? Проверяем: $$ 2 \cdot 2 = 4 \in (4)$, однако $2 \notin (4)$. Значит?
Ну и в остальных случаях так же действуйте.

[Naatikin]

$(4)$ не простой, а $(5),(2),(2)$ простые

[AV_77]

Вот вы и разобрались.

[Naatikin]

спасибо за помощь

[Chernoknizhnik]

Chernoknizhnik в сообщении #706932 писал(а):

Пожалуйста, конкретный пример: идеал $\alpha=mZ$ прост в кольце целых чисел тогда и только тогда, когда $m$ - простое число.

Здесь я допустил ошибку. $0\mathbb{Z}$ - идеал простой, т.к. $\mathbb{Z}$ - целостное кольцо, но вот $0$ - число не совсем простое.