2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




 
 идеалы колец
Сообщение07.04.2013, 11:39 
Добрый день сообщество.
Меня снова клинит :oops:
не могу разобраться с тем, что такое простой идеал
определение следующее если $I \neq A$ и из $ab\in I$ следует $a\in I$ или $b\in I$.
Так же есть определение: идеал $B$ кольца $A$ называется простым, когда кольцо классов вычетов является целостным, те нет нулей и справедливо из $ab \equiv 0(\mod B), a\neq 0$ следует $b =0$.

Приведите пример простых идеалов для $Z/nZ$, для $n = 7, 8, 10$.

 
 
 
 Re: идеалы колец
Сообщение07.04.2013, 12:40 
Naatikin в сообщении #706908 писал(а):
Так же есть определение: идеал $B$ кольца $A$ называется простым, когда кольцо классов вычетов является целостным, те нет нулей и справедливо из $ab \equiv 0(\mod B), a\neq 0$ следует $b =0$.

Вы не можете понять эквивалентность этих определений? Возьмите и просто выпишете, как связано равенство нулю класса эквивалентности в $A/B$, где $B$ - идеал, с представителями этого класса.
Чтобы найти простые идеалы в $Z/nZ$, докажите, что прообраз простого идеала при гомоморфизме - снова простой идеал (верно ли это для максимальных идеалов?)

 
 
 
 Re: идеалы колец
Сообщение07.04.2013, 12:45 
Chernoknizhnik
нет, мне нужно просто пример конкретный, чтобы разобраться.

 
 
 
 Re: идеалы колец
Сообщение07.04.2013, 12:56 
Пожалуйста, конкретный пример: идеал $\alpha=mZ$ прост в кольце целых чисел тогда и только тогда, когда $m$ - простое число.

 
 
 
 Re: идеалы колец
Сообщение07.04.2013, 13:54 
Chernoknizhnik в сообщении #706932 писал(а):
Пожалуйста, конкретный пример: идеал $\alpha=mZ$ прост в кольце целых чисел тогда и только тогда, когда $m$ - простое число.

да, это мне известно
напишите пож-та простые идеалы для $Z/7Z$, $Z/8Z$, $Z/10Z$.

 
 
 
 Re: идеалы колец
Сообщение07.04.2013, 14:30 
Вы сначала все идеалы выпишите, а потом отберите простые. В вашем случае это не сложно, благо идеалов всего ничего.

 
 
 
 Re: идеалы колец
Сообщение07.04.2013, 15:30 
Так вроде собственных идеалов для n=7 нет, для 8: $(0,4), (0,2,4,6)$, для 10: $(0,5), (0,2,4,6,8)$.
Они все простые?

 
 
 
 Re: идеалы колец
Сообщение07.04.2013, 15:57 
По определению смотрите. Например, для $\mathbb{Z} / 8 \mathbb{Z}$ рассмотрим идеал $(4) = \{0, 4 \}$. Является ли он простым? Проверяем: $$ 2 \cdot 2 = 4 \in (4)$, однако $2 \notin (4)$. Значит?
Ну и в остальных случаях так же действуйте.

 
 
 
 Re: идеалы колец
Сообщение07.04.2013, 16:00 
$(4)$ не простой, а $(5),(2),(2)$ простые

 
 
 
 Re: идеалы колец
Сообщение07.04.2013, 16:07 
Вот вы и разобрались.

 
 
 
 Re: идеалы колец
Сообщение07.04.2013, 16:11 
спасибо за помощь

 
 
 
 Re: идеалы колец
Сообщение07.04.2013, 20:45 
Chernoknizhnik в сообщении #706932 писал(а):
Пожалуйста, конкретный пример: идеал $\alpha=mZ$ прост в кольце целых чисел тогда и только тогда, когда $m$ - простое число.


Здесь я допустил ошибку. $0\mathbb{Z}$ - идеал простой, т.к. $\mathbb{Z}$ - целостное кольцо, но вот $0$ - число не совсем простое.

 
 
 [ Сообщений: 12 ] 


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group