Произведение любых двух кратно сумме (оцените решение)

[Ktina]

Доказать, что для каждого $n\in\mathbb N$ существуют $n$ попарно различных натуральных чисел, произведение любых двух из которых делится на сумму этих двух чисел.

Перемножим числа

$$2, 3, 5, 9, 17, \dots , 2^{n-1}+1$$

и получим число $x$.

Теперь возьмём числа

$$x, 2x, 4x, 8x, \dots , 2^{n-1}x$$

Произведение любых двух будет иметь вид $2^km^2$, где $m$ --- меньшее из двух чисел, а $k\in\mathbb N_0$ (именно к $\mathbb N_0$, а не к $\mathbb N$, так как "любых двух" можно понимать как "можно и с самим собой").
А сумма будет иметь вид $(2^k+1)\cdot m$

Таким образом, мы получим $n$ чисел, удовлетворяющих условию.

Вроде, всё правильно?
Или не совсем?

[Shadow]

Чего экономить, возмем
$(2n-1)!,2\cdot (2n-1)!, 3\cdot (2n-1)!,\cdots n\cdot (2n-1)!$

[Ktina]

Моя вялотекущая шизофрения вяло перетекла в яркотекущую со всеми вытекающими. Два года тому назад я публиковала эту же задачу с этим же решением. Но только полчаса тому назад обнаружила это.