Разность времён

[Alexey96]

Доброго времени суток,разъясните мне пожалуйста:
Как известно, время падения тела с высоты $h$ в поле тяжести с ускорением свободного падения $g$ равно:

$$t_{1}=\sqrt{\dfrac{2h}{g}}$$

Из курса же небесной механики: если начальная кинетическая энергия тела равна нулю, то

$$\dot{r}^{2}=\dfrac{2GM}{r}$$

Тогда время падение тела с высоты $h$ (считая от поверхности) до поверхности планеты радиуса $R$ равно:

$$t_{2}=\dfrac{\sqrt{2}}{3}\sqrt{\dfrac{(R+h)^{3}-R^{3}}{GM}}$$

Например,для Земли, уже для падения с $10$ метров отношение $\dfrac{t_{1}}{t_{2}} \approx 1,732049$
Почему же так сильно отличаются результаты?Или я что-то неверно сделал?Поправьте если это так.
Заранее спасибо.

[Munin]

Alexey96 в сообщении #704750 писал(а):

Из курса же небесной механики: если начальная кинетическая энергия тела равна нулю, то

$$\dot{r}^{2}=\dfrac{2GM}{r}$$

Это, простите, при движении из какой начальной точки? А то я бы сказал, что

$$\dot{r}^{2}=\dfrac{2GM}{r}+\mathrm{const}.$$

[Alexey96]

С высоты $h$ над поверхностью планеты конечно же.
Munin, то есть я правильно полагаю:

$$const=\dfrac{2E_{0}}{m}=-\dfrac{2GM}{h}$$

[Munin]

$R+h,$ конечно же.

[Alexey96]

И ещё, скажите пожалуйста, как будет выглядеть и чему будет равен тогда следующий интеграл:

$$t_{2}=\dfrac{1}{\sqrt{2GM}}\int\limits_{R}^{R+h}\dfrac{dr}{\sqrt{\dfrac{1}{r}-\dfrac{1}{R+h}}}$$

Помогите.
Просто у меня получается так:

$$\dfrac{\sqrt {2} \left( 2\,\sqrt {hR}+ \left( R+h \right) \pi -i \left( R+h \right) \left( \ln \left( R+h \right) -\ln \left( -R+h+2\,i\sqrt {hR} \right) \right) \right) }{4\sqrt {{\frac {GM}{R+h}}}}}}$$

Что это такое - "комплексное" время? Что-то неверно,очевидно.

[iifat]

Таки ж с чего бы, как думаете, интеграл от вполне себе действительной функции по столь же действительным пределам вдруг стал комплексным?

[Alexey96]

iifat, уверяю Вас, наверняка это неверное интегрирование, просто под рукой сейчас есть лишь ручка и бумага.
Я точно где-то ошибся. Прошу помощи.

[DimaM]

Alexey96
У меня, как будто, получился такой интеграл $-(R+h)^{3/2}\left(\alpha+\sin 2\alpha/2\right),$ где замена $r=(R+h)\cos^2\alpha.$
Надо еще подставить пределы.

[Alexey96]

DimaM, по идее - всё правильно, но вот только Вы подставьте предел $r=R+h$, и у Вас получится

$$-{\frac { \left( R+h \right) ^{3/2}\sqrt {2}\pi }{4\sqrt {GM}}}$$

Отрицательное значение, даже при любом из $\alpha = \arccos{\left(\pm \sqrt{\dfrac{r}{R+h}}\right)}$
Но время,очевидно,отрицательным никак не может быть. Или может быть просто следует поменять местами пределы интегрирования?

[DimaM]

Alexey96 в сообщении #705088 писал(а):

DimaM, по идее - всё правильно, но вот только Вы подставьте предел $r=R+h$

При $r=R+h$, вроде, ноль получается. Поэтому подставлять надо нижний предел $r=R$, и выйдет положительное выражение.
В пределе $h\ll R$ у меня получилось правильное $\sqrt{\frac{2hR^2}{GM}}=\sqrt{\frac{2h}{g}}.$

[Alexey96]

Уважаемые форумчане, то есть правильный ответ такой:

$$t_{2}=\sqrt{\dfrac{(R+h)^3}{2GM}}\left( \arccos{\sqrt{\dfrac{R}{R+h}}}+\dfrac{\sqrt{Rh}}{R+h} \right)$$

?
И верно ли утверждать,что,например, если я рассматриваю два притягивающихся одинаковых шара массой $M$ то вместо $M$ в формулы для $t_{2}$ необходимо написать $2M$?
Например если расстояние между центрами этих же двух шаров - $L$,то время до их столкновения (если они начнут движение, конечно же, из состояния покоя) есть $t_{2}=t_{2}(G,2M,R=R,h=L+R) \Rightarrow$

$$t_{2}=\dfrac{1}{2}\sqrt {{\frac { \left( 2\,R+L \right) ^{3}}{GM}}} \left( \arccos {\sqrt {{\frac {R}{2\,R+L}}} } +{\frac {\sqrt {R \left( L+R \right) }}{2\,R+L}} \right) $$

Это, на самом деле, и есть - поставленная мне задача.Помогите. Скажите,пожалуйста,всё ли верно?

[Alexey96]

Жду помощи...Заранее спасибо.

[Munin]

Для двух притягивающихся шаров надо перейти к системе с приведённой массой. Например, см. Ландау, Лифшиц Теоретическая физика т. 1 Механика §§ 13-15, или Медведев Начала теоретической физики пп. I.10, I.11.

-- 03.04.2013 17:26:14 --

Для двух шаров массы $M$ приведённая масса будет $M/2.$ В общем случае, $m_{\mathrm{red}}=m_1m_2/(m_1+m_2).$

[zer0]

Alexey96 в сообщении #704750 писал(а):

$$t_{2}=\dfrac{\sqrt{2}}{3}\sqrt{\dfrac{(R+h)^{3}-R^{3}}{GM}}$$

При h<<R имеем:

$$\dfrac{(R+h)^{3}-R^{3}}{GM}=\dfrac{R^3+3R^2 \cdot h+...-R^{3}}{GM}=\dfrac{3R^2 \cdot h+...}{GM}=\dfrac{3 \cdot h+...}{GM/R^2}=\dfrac{3 \cdot h}{g}$$

Значит, в исходной формуле не 3, а Корень(3)

[Alexey96]

Munin, будьте добры, разъясните мне пожалуйста, а то, я что-то совсем никак не могу разобраться:
Правильно ли я понял, что получая решение в задаче двух тел для $\vec{r}$ - вектора взаимного расстояния ( между двумя телами массой $m_{1}$ и $m_{2}$ )в виде:$\vec{r}=\dfrac{p}{1+e\cos{\varphi}}$ нужно для первого тела умножить это выражение на $\dfrac{m_{2}}{m_{1}+m_{2}}$ и получить параметрическую зависимость радиус вектора, проведённого из центра масс системы до первого тела, от угла его поворота?