Разность времён

[Alexey96]

Munin,DimaM,iifat, Всем большое спасибо!
Буду далее пытаться разобраться самостоятельно, но при появлении вопросов буду также к вам обращаться, если никто, конечно же, не против.

iifat в сообщении #705742 писал(а):

Подставляем в первое уравнение:

$$\ddot{(r_1-r_c)}=-\frac{G\frac{m_1^3}{(m_1+m_2)^2}}{\left|r_1-r_c\right|^3}(r_1-r_c)$$

По-моему вы где-то ошиблись, потому что,например, у меня получается (в сообщениях выше я положил, что $\vec{r_{c}}=0$):

$$\ddot{\vec{r_{1}}}=-\frac{Gm_{2}^3}{(m_1+m_2)^2 }\dfrac{\vec{r_{1}}}{r_{1}^3}$$

iifat, а вот и ошибка -

$$r_1-r_c=\frac{m_1}{m_1+m_2}(r_1-r_2)$$

Должно быть -

$$r_1-r_c=\frac{m_2}{m_1+m_2}(r_1-r_2)$$

[iifat]

Там раньше ошибка, в $r_c$. Только вашего выражения у меня всё равно не получается. Вы, по-моему, неправильно дробь из знаменателя подняли.

[Alexey96]

iifat, да нет же - всё должно получиться:
Если $\vec{r_{c}}=0$, то из $\ddot{\vec{r_{1}}}=-\dfrac{Gm_{2}}{r^{3}}\vec{r}$ и $\vec{r}=\dfrac{(m_{1}+m_{2})\vec{r_{1}}}{m_{2}}$

$$\ddot{\vec{r_{1}}}=-\dfrac{Gm_{2}}{\left (\dfrac{m_{1}+m_{2}}{m_{2}}\right)^{3} r_{1}^{3} } \dfrac{(m_{1}+m_{2})\vec{r_{1}}}{m_{2}} = \ddot{\vec{r_{1}}}=-\frac{Gm_{2}^3}{(m_1+m_2)^2 }\dfrac{\vec{r_{1}}}{r_{1}^3}$$

[DimaM]

iifat в сообщении #705967 писал(а):

Только вашего выражения у меня всё равно не получается. Вы, по-моему, неправильно дробь из знаменателя подняли.

Вроде, правильные выражения. $m_1({\bf r}_1-{\bf r}_c)+m_2({\bf r}_2-{\bf r}_c)=0$.

[Alexey96]

Уважаемы участники форума, далее я постараюсь привести свои выкладки. Если всё же у кого-нибудь появиться свободное время и желание, то помогите мне пожалуйста - проверьте - всё ли верно?
Начнём со следующего, у нас имеется:

$$\ddot{\vec{r_{i}}}=-\dfrac{Gm_{3-i}^3}{(m_{1}+m_{2})^2 }\dfrac{\vec{r_{i}}}{r_{i}^3} (1)$$

Умножаем $(1)$ векторно на $\vec{r_{i}}$ :

$$\ddot{\vec{r_{i}}}\times\vec{r_{i}}=-\frac{Gm_{3-i}^3}{(m_{1}+m_{2})^2 }\dfrac{\vec{r_{i}} \times \vec{r_{i}}}{r_{i}^3} (2)$$

Очевидно, что в $(2), \vec{r_{i}} \times \vec{r_{i}} =0 $, а $\ddot{\vec{r_{i}}}\times\vec{r_{i}} = \dfrac{d}{dt} \left( \vec{r_{i}} \times \dot{\vec{r_{i}}}\right) \Rightarrow$

$$\vec{r_{i}} \times \dot{\vec{r_{i}}}=\vec{c_{i}} (3)$$

Здесь, $\vec{c_{i}}$ - некоторая произвольная векторная постоянная.
Итак, далее умножим $(1)$ скалярно на $\dot{\vec{r_{i}}}$ :

$$\ddot{\vec{r_{i}}}\cdot\dot{\vec{r_{i}}}=-\frac{Gm_{3-i}^3}{(m_{1}+m_{2})^2 }\dfrac{\vec{r_{i}} \cdot\dot{\vec{r_{i}}}}{r_{i}^3} (4)$$

Перепишем $(4)$ в следующем виде:

$$\ddot{\vec{r_{i}}}\cdot \dot{\vec{r_{i}}} = \dfrac{1}{2} \dfrac{d}{dt} \left ( \dot{\vec{{r_{i}}}}^{ 2} \right)=\dfrac{d}{dt} \left (\dfrac{Gm_{3-i}^3}{(m_{1}+m_{2})^2 }\dfrac{1}{r_{i}} \right)(5)$$

Обозначим $\dfrac{Gm_{3-i}^3}{(m_{1}+m_{2})^2 }$ за $K_{i}$. После интегрирования $(5)$ получаем:

$$ \dot{\vec{{r_{i}}}}^{ 2}=\dfrac{2K_{i}}{r_{i}}+h_{i} (6)$$

Как я понял - $h$ - это и есть постоянная энергии.Далее умножая $(1)$ векторно на $\vec{c_{i}}$ получаем:

$$\dot{\vec{{r_{i}}}} \times \vec{c_{i}}-\dfrac{K_{i}}{r_{i}}\vec{r_{i}}=\vec{\lambda_{i}} (7)$$

И уже скалярно умножив $(7)$ на $\vec{r_{i}}$ получим после применения нескольких формул векторной алгебры ( и если не ошибся нигде, то) :

$$\vec{\lambda_{i}}\vec{r_{i}}=c_{i}^{2}-K_{i}r_{i} (8)$$

И далее, переходя к полярным координатам, преобразуем $(8)$ к виду:

$$r_{i}=\dfrac{c^{2}}{K_{i}+\lambda_{i} \cos{\varphi}} (9)$$

А также, если $\vec{\lambda_{i}}$ возвести в квадрат и снова, применив несколько формул векторной алгебры, получится

$$\lambda_{i}^{2}=c_{i}^{2}+h_{i}K_{i}^{2}(10)$$

И в конце концов остаются всего лишь два вопроса, ответить на которые у меня не получается:
1) Чему равно $c_{i}^{2}$? Это векторное произведение первоначального радиус-вектора на начальную скорость - $c_{i}^{2}=(\vec{v_{i0}}\times\vec{r_{i0}})^{2}$?
2) Чему равно $h_{i}$? $h_{i}=v_{i0}^{2}-\dfrac{2K_{i}}{r_{i0}}$, где $v_{i0}$ - начальная скорость, а $r_{i0}=\left r_{i} \right|_{t=0}$ ?
Всем, заранее большое спасибо.

[Alexey96]

Прошу помощи...

[Munin]

Вы ввели индекс $i,$ намереваясь решать движение первого и второго тела одними выкладками ($i=1,2$)? Тогда имейте в виду, что эти движения не независимы. Одни константы для одного тела будут выражаться через константы для другого тела, другие - только в сумме для двух тел будут константами.

Ваши $c$ и $h$ - это момент импульса и энергия, причём это энергия одного из тел в системе центра масс в системе координат, центрированной на центре масс. К начальным условиям вы их привязываете, вроде, правильно. Как соотносятся между собой $c_1$ и $c_2,$ $h_1$ и $h_2$?

[Alexey96]

Munin, да я имел в виду, что $i=1$ либо же $i=2$ .

Munin в сообщении #706157 писал(а):

энергия одного из тел в системе центра масс в системе координат, центрированной на центре масс

Объясните пожалуйста, что это значит?

Alexey96 в сообщении #706004 писал(а):

1) Чему равно $c_{i}^{2}$? Это векторное произведение первоначального радиус-вектора на начальную скорость - $c_{i}^{2}=(\vec{v_{i0}}\times\vec{r_{i0}})^{2}$?
2) Чему равно $h_{i}$? $h_{i}=v_{i0}^{2}-\dfrac{2K_{i}}{r_{i0}}$, где $v_{i0}$ - начальная скорость, а $r_{i0}=\left r_{i} \right|_{t=0}$ ?

Вы имеете в виду, что всё здесь написанное - верно?

Munin в сообщении #706157 писал(а):

Как соотносятся между собой $c_1$ и $c_2,$ $h_1$ и $h_2$?

Вроде бы так:
$\vec{c_{1}}= \vec{r_{10}} \times \vec{v_{10}};\vec{c_{2}}= \vec{r_{20}} \times \vec{v_{20}};\lambda_{1}=\sqrt{h_{1}c_{1}^{2}+K_{1}^{2}};\lambda_{2}=\sqrt{h_{2}c_{2}^{2}+K_{2}^{2}};$
$h_{1}=v_{10}^{2}-\dfrac{2K_{1}}{r_{10}};h_{2}=v_{20}^{2}-\dfrac{2K_{2}}{r_{20}}$

[Munin]

Alexey96 в сообщении #706204 писал(а):

Объясните пожалуйста, что это значит?

Это всего лишь указание, относительно какой точки вычисляются моменты инерции. Извините за косноязычность.

Alexey96 в сообщении #706204 писал(а):

Вы имеете в виду, что всё здесь написанное - верно?

Да вроде.

Alexey96 в сообщении #706204 писал(а):

Вроде бы так

Вы до соотношений их между собой не добрались. Вспомните, как соотносятся между собой $\vec{r\!}\,_1$ и $\vec{r\!}\,_2.$

-- 05.04.2013 19:37:21 --

Замечание по TeX-у: если индексы писать снаружи от акцентов, то акценты не будут съезжать вправо, а будут висеть прямо над буквой. Сравните \vec{r_{10}} и \vec{r}_{10} . Я даже с помощью пробелов смещаю их ещё левее (потому что буква $\vec{r}$ мне не нравится): \vec{r\!}\,_{10} . Здесь \! - отрицательный пробел, делает букву "уже", а \, - положительный пробел, восполняет "съеденное" место.

[iifat]

Munin в сообщении #706157 писал(а):

Тогда имейте в виду, что эти движения не независимы

А зачем мы переходили к центру в центре масс, стесняюсь спросить? Я-то думал, как раз чтобы от системы двух уравнений перейти к одному -- от второго осталось только $m_2$

[Alexey96]

Munin в сообщении #706278 писал(а):

Вспомните, как соотносятся между собой $\vec{r\!}\,_1$ и $\vec{r\!}\,_2.$

Вот: $m_{1}\vec{r\!}\,_1+m_{2}\vec{r\!}\,_2=0$
А как же теперь это привязать к $c_{1},c_{2};h_{1},h_{2}$?
И в конечном итоге, для чего же мне связь этих величин? Ведь получается,что в системе "центра масс-тело", каждое из обоих тел двигаются независимо друг от друга. Параметры их движений определяют лишь только начальные значения некоторых "общих" величин. Или же я чего-то в корне не понимаю?

[Munin]

Alexey96 в сообщении #706577 писал(а):

И в конечном итоге, для чего же мне связь этих величин? Ведь получается,что в системе "центра масс-тело", каждое из обоих тел двигаются независимо друг от друга.

Вот как раз чтобы не думать, что "независимо друг от друга". Они просто начинают двигаться как зеркальные отражения друг друга: куда одно, туда и другое. И из-за этого можно вообще считать это не двумя разными движениями, а одним движением, и рассматривать не $\vec{r\!}\,_1,\vec{r\!}\,_2,$ а $\vec{r\!}\,.$

Alexey96 в сообщении #706577 писал(а):

Параметры их движений определяют лишь только начальные значения некоторых "общих" величин.

Ну да, "лишь". Но если вы возьмёте два одинаковых дифура, и зададите им одинаковые начальные условия, то и их решения на всём остальном времени будут одинаковы. Так что безразлично, говорить ли, что они всегда связаны, или что только их начальные условия связаны.

iifat в сообщении #706441 писал(а):

А зачем мы переходили к центру в центре масс, стесняюсь спросить? Я-то думал, как раз чтобы от системы двух уравнений перейти к одному

Да. Точнее, всё равно остаётся два уравнения. Но второе уравнение - это уравнение движения центра масс как целого. Но оно тривиально: центр масс движется по 1 закону Ньютона - и нас не интересует. Это ещё в ЛЛ-1 § 8 написано.

[Alexey96]

Munin, спасибо Вам за все комментарии.
У меня остался ещё один вопрос: начальные скорости обоих тел $\vec{v\!}\,_1$ и $\vec{v\!}\,_2$ не меняются при переходе из какой-либо одной системы координат в другую?
То есть,например, относительно любой и не важно какой бесконечно удалённой точки начальная скорость первого тела была равна - $10000 \, \dfrac{\text{м}}{\text{с}}$, то и переходя в систему координат "центр масс-1 тело" его скорость $\vec{v\!}\,_{10}$ и остаётся равной $10000\, \dfrac{\text{м}}{\text{с}}$? Верно?

[Munin]

Вы можете преобразовывать координаты по-разному. Если вы переходите в движущуюся систему отсчёта, то у вас все скорости меняются. Если вы остаётесь в той же системе отсчёта, и только переносите начало координат, то скорости остаются на месте, а меняются только положения - радиус-векторы.

(Среди изменений систем отсчёта, есть такие, которые меняют скорости, но оставляют ускорения - это переходы из инерциальной в другую инерциальную систему отсчёта.)

[Alexey96]

Munin в сообщении #705239 писал(а):

Для двух притягивающихся шаров надо перейти к системе с приведённой массой. Например, см. Ландау, Лифшиц Теоретическая физика т. 1 Механика §§ 13-15, или Медведев Начала теоретической физики пп. I.10, I.11.

-- 03.04.2013 17:26:14 --

Для двух шаров массы $M$ приведённая масса будет $M/2.$ В общем случае, $m_{\mathrm{red}}=m_1m_2/(m_1+m_2).$

По моему здесь вы оказались немного не правы:
Если $L$ - начальное расстояние между двумя шарами массой $m_{1}$ и $m_{2}$ и радиуса $R_{1}$ и $R_{2}$ соответственно, тогда по ЗСЭ:

$$-\dfrac{Gm_{1}m_{2}}{L}=-\dfrac{Gm_{1}m_{2}}{r}+\dfrac{m_{1}{\dot{r}}_{1}^{2}}{2}+\dfrac{m_{2}{\dot{r}}_{2}^{2}}{2}$$

Как установлено ранее (для положения центра масс в начале координат):

$${\bf r}_{1}=\dfrac{m_{2}{\bf r}}{m_{1}+m_{2}};{\bf r}_{2}=\dfrac{m_{1}{\bf r}}{m_{1}+m_{2}}$$

Подставляя это в закон сохранения,получаем:

$$t_{2}=\dfrac{1}{\sqrt{2G({m_{1}+m_{2})}}}\int\limits_{R_{1}+R_{2}}^{L}\dfrac{dr}{\sqrt{\dfrac{1}{r}-\dfrac{1}{L}}}$$

То есть в итоге - нужно складывать массы, как я и предполагал выше.
Такой вот пример - вдруг Луна остановилась и начала падать на Землю (нужно найти время падения Луны на Землю) : для формулы с приведённой массой получается ответ в полтора месяца, а для суммы масс - около 5 дней.
Так что, по-моему, массы складываются.