2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2  След.
 
 Определитель матрицы и ее обусловленность
Сообщение10.04.2007, 14:40 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


31/10/06
371
РФ, РК, г.Симферополь
Для некоторой СЛАУ можно показать, что одно из ее уравнений (вообще говоря, любое) представляет собой линейную комбинацию некоторых двух уравнений (причем, ниодно из этих двух в явном виде в СЛАУ не входит). Рассмотрим для определенности последнее уравнение СЛАУ:
$a_{nj}  = \alpha  \cdot d_{nj}  + \beta  \cdot c_{nj} $, $j = \overline {1,n} $
Таким образом, в виду линейности определителя, определитель матрицы $A = \left\| {a_{ij} } \right\|$ равен сумме двух определителей: в одном из них все строки, кроме последней, совпадают со строками $A = \left\| {a_{ij} } \right\|$, а последняя строка – совпадает со строкой $d_{ij} $, в другом определителе – тоже самое, только в последней строке записываются коэффициенты $c_{ij} $. Запишем это так:
$\det \left( A \right) = \alpha \det \left( {A^{\left( d \right)} } \right) + \beta \det \left( {A^{\left( c \right)} } \right)$.
Обозначения понятны.
Далее выясняется, что $\det \left( {A^{\left( c \right)} } \right) = 0$. Тогда, получаем $\det \left( A \right) = \alpha \det \left( {A^{\left( d \right)} } \right)$. Известно, что $\alpha  < 1$, следовательно, $\det \left( {A^{\left( d \right)} } \right) > \det \left( A \right)$.
Означает ли это, что однозначно меньше и число обусловленности матрицы $A^{\left( d \right)} $?
Как это можно связать?

 Профиль  
                  
 
 Re: Определитель и число обусловленности
Сообщение10.04.2007, 15:27 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


01/08/06
3049
Уфа
А никак. Это независимые вещи.
Например,
$A = \left(\begin{array}{cc} 1&1\\1&x \end{array}\right)$
$A^{(c)} = \left(\begin{array}{cc} 1&1\\1&1 \end{array}\right)$
$A^{(d)} = \left(\begin{array}{cc} 1&1\\1&y \end{array}\right)$
$1<x<y$, $\alpha=\frac{x-1}{y-1}<1$, $\beta=1-\alpha$.
Вроде получается, как в Вашей задаче: $\det A = \alpha \det A^{(d)}$.
Число обусловленности $\nu(A)=F(x)$, $\nu(A^{(d)})=F(y)$, где
$$F(t)=\frac{t+1+\sqrt{(t-1)^2+4}}{t+1-\sqrt{(t-1)^2+4}}$$.
Но $F(t)$ не является монотонной на $(1,\infty)$: $F(2) \approx 6.9$, $F(3) \approx 5.8$, $F(4) \approx 6.2$. Это значит, что число обусловленности $A$ может быть как больше, так и меньше числа обусловленности $A^{(d)}$.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение10.04.2007, 18:29 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


31/10/06
371
РФ, РК, г.Симферополь
В моем примере любая строка матрицы $A$ может быть представлена линейной комбинацией соответствующих строк матриц $A^{\left( c \right)} $ и $A^{\left( d \right)}$.
Давайте проверим Ваш пример. Для последней строки имеем:
для первого элемента
$1 = \alpha  \cdot 1 + \beta  \cdot 1 = \alpha  \cdot 1 + \left( {1 - \alpha } \right) \cdot 1 = 1$
получаем $1=1$
для второго элемента
$x = \alpha  \cdot 1 + \beta  \cdot y = \alpha  \cdot 1 + \left( {1 - \alpha } \right) \cdot y = \alpha  \cdot \left( {1 - y} \right) + y = \left( {{{x - 1} \over {y - 1}}} \right) \cdot \left( {1 - y} \right) + y = y + 1 - x$
получаем: $x \ne y + 1 - x$
Т.о., если я не ошибся, то линейной комбинации, о которой я писал не получается в этом примере.
А если поменять местами $\alpha $ и $\beta $, то нарушается условие $$
\det \left( A \right) = \alpha \det \left( {A^{\left( d \right)} } \right)
$$.
??

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение10.04.2007, 19:21 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


01/08/06
3049
Уфа
Как я понял, должно быть $A_2$ = $\alpha A_2^{(d)}$+$\beta A_2^{(c)}$, где нижний индекс 2 означает 2-ю строку матрицы. Тогда, расписывая покоординатно, имеем $1 = \alpha\cdot 1 + \beta\cdot 1$ (откуда $\beta = 1-\alpha$), $x = \alpha\cdot y + \beta\cdot 1$ = $\frac{x-1}{y-1}y$ + $\frac{y-x}{y-1}$ = $\frac{xy-y+y-x}{y-1}$ = $\frac{x(y-1)}{y-1}$ = $x$ --- как в аптеке.

Даже если меня глючит и я перепутал $\alpha$ и $\beta$, всё равно поскольку 0 < $\alpha$ < 1, то и 0 < 1-$\alpha$ = $\beta$ < 1, т.е. $\beta$ вполне годится на роль $\alpha$.

Добавлено по некотором размышлении:

Кстати, $\det A$ и $\det A^{(d)}$ легко считаются и получается:
$\det A$ = $\frac{x-1}{y-1}$ $\det A^{(d)}$.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение10.04.2007, 20:09 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


31/10/06
371
РФ, РК, г.Симферополь
Ну да, это я перепутал. Все вроде правильно.
Определитель может возрасти по различным причинам.
Из них могут возникнуть, в частности, два случая:
1) спектр собственных значений смещается таким образом, что все его значения возрастают;
2) спектр собственных значений сужается, то есть максимальное с.з. не изменяется, а минимальное с.з. (по модулю) увеличивается.
Второй случай предпочтительней.
Мои численные расчеты соответствуют именно второму случаю.
Но я, к сожалению, пока все теоретические выводы могу связать только с определителем.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение11.04.2007, 00:46 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


31/10/06
371
РФ, РК, г.Симферополь
Я слышал, что определитель характеризует угол между гиперплоскостями - это вроде как его геометрическая интерпретация. Чем меньше определитель, тем меньше этот угол. Это можно увидеть в случае СЛАУ из 2-х уравнений. Если определитель матрицы такой СЛАУ мал, то это означает, что две прямые, описываемые уравнениями, практически параллельны друг другу (малый угол). Итерационный процесс будет сходиться очень медленно.
Но с другой стороны скорость сходимости итерационного процесса определяется максимальным и минимальным с.з. А эти значения определяют число обусловленности. Стало быть, исходя из такой логики, все-таки можно обнаружить связь между определителем и числом обусловленности?

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение11.04.2007, 01:43 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


17/10/05
3709
:evil:
Fgolm писал(а):
Я слышал, что определитель характеризует угол между гиперплоскостями

Это неверно. Рассмотрите $\det(x A) = x^n \det(A)$. То есть, определитель мы можем сделать каким хотим (уж по крайней мере, по модулю). В то же время $\kappa(x A) = \kappa(A)$ при подобии не меняется (как и следовало ожидать). Между определителем и обусловленностью нет прямой связи.

(Определитель, а точнее говоря, его модуль — геометрически суть объем параллелепипеда, натянутого на вектора. Я не думаю, что есть простая геометрическая интерпретация обусловленности, поскольку она зависит от используемой нормы. Соотношение же собственных чисел суть число обусловленности специфически для спектральной нормы.)

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение18.10.2007, 10:26 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


31/10/06
371
РФ, РК, г.Симферополь
Вот, решил вернуться к этому вопросу.
незваный гость писал(а):
Рассмотрите $\det \left( {xA} \right) = x^n \det \left( A \right)$. То есть, определитель мы можем сделать каким хотим (уж по крайней мере, по модулю)

Да, мы можем умножить какую-нибудь строку на большое число, и определитель пропорционально возрастет.
Однако в моем примере определитель увеличивается за счет замены одного из уравнений. При этой замене решение соответствующей СЛАУ абсолютно не меняется (это следует из уравнений). Всегда ли можно произвести подобную замену (чтобы решение не менялось, а определитель возрастал)?
В принципе само по себе число обусловленности меня не интересует. Мне просто нужен еще один критерий (объективный, такой как число обусловленности), в дополнение к определителю, который бы иллюстрировал улучшение свойств матрицы коэффициентов. Например, неплохо бы показать, что при такой замене увеличится скорость сходимости итерационного процесса (метод простой итерации). В моем примере, как я писал, это действительно происходит. К сожалению, я не могу показать это теоретически. Однако на практике (посчитав с.з. сначала матрицы $A$, а затем $A^{\left( d \right)} $) увидел, что минимальное с.з. в $A$ "ликвидируется" упомянутой заменой.
Это, в частности, приводит к возрастанию определителя, а также, скорости сходимости метода простой итерации (это более очевидное следствие, чем возрастание определителя).
Вот конкретный численный пример.
http://slil.ru/24993937 (2 Kb)
Тут, в txt матрица $A$ ($N \times N = 10 \times 10$). Записана в один столбец. Первые 10 элементов в файле – это первая строка. Следующие 10 элементов – вторая строка и т.д.. На диагонали – единицы.
http://slil.ru/24993946
Тут – матрица $$A^{\left( d \right)}$$

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение18.10.2007, 11:15 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/08/07
5420
Нов-ск
Fgolm писал(а):
Однако в моем примере определитель увеличивается за счет замены одного из уравнений.
Если строки линейно зависимы, как было сказано, то определитель был и остался равен нулю, не увеличился.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение18.10.2007, 15:45 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


31/10/06
371
РФ, РК, г.Симферополь
TOTAL, Вы не правильно меня поняли. Матрица $A$ представляет собой сумму двух матриц, одна из которых вырожденная (все строки линейно зависимы), а вторая невырожденная. Определитель этой второй, естественно, равен определителю исходной матрицы - это с одной стороны. Но с другой стороны он пропорционален определителю третьей матрицы ($\alpha$ - коэффициент пропорциональности). Таким образом, используя вместо исходной матрицы последнюю (третью) мы увеличиваем ее определитель в $\alpha^{-1}$ раз ($\alpha$ меньше единицы).

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение19.10.2007, 10:06 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/08/07
5420
Нов-ск
Fgolm писал(а):
Таким образом, используя вместо исходной матрицы последнюю (третью) мы увеличиваем ее определитель в $\alpha^{-1}$ раз ($\alpha$ меньше единицы).
Как именно используете новую матрицу вместо исходной?

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение19.10.2007, 11:13 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


31/10/06
371
РФ, РК, г.Симферополь
TOTAL писал(а):
Как именно используете новую матрицу вместо исходной?

В СЛАУ, вместо исходной матрицы, записываю новую (ту, что с бо'льшим определителем). В свободном члене меняю один из элементов. В том примере, который я привел (в файлы, правда, записаны только матрицы исходной и новой СЛАУ, но не записаны вектора свободных членов) заменяю последний элемент вектора свободного члена. Последний элемент взят, поскольку все рассуждения, для определенности, ведутся для последней строки:
Fgolm писал(а):
Рассмотрим для определенности последнее уравнение СЛАУ:
$a_{nj}  = \alpha  \cdot d_{nj}  + \beta  \cdot c_{nj} $, $j = \overline {1,n} $,

При этом решение новой СЛАУ совпадает с решением исходной. Но свойства ее матрицы лучше.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение19.10.2007, 11:25 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/08/07
5420
Нов-ск
Fgolm писал(а):
При этом решение новой СЛАУ совпадает с решением исходной. Но свойства ее матрицы лучше.
Почему оно совпадает?

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение19.10.2007, 12:07 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


31/10/06
371
РФ, РК, г.Симферополь
TOTAL писал(а):
Почему оно совпадает?

Fgolm писал(а):
Рассмотрим для определенности последнее уравнение СЛАУ:
$a_{nj}  = \alpha \cdot d_{nj}  + \beta  \cdot c_{nj} $, $j = \overline {1,n} $


Уравнение вида: $ \alpha \ d_{nj}\ x_j = f_n, \ \ j=1,2,...,n \ \ \ \ \ (*)$
($ f_n $ - то значение, которое пойдет в новый вектор свободного члена на место последнего элемента) не входит в исходную СЛАУ и является линейно независимым по отношению к первым $\left( {N - 1} \right)$ уравнениям этой СЛАУ. Это уравнение является условием, которому решение исходной СЛАУ удовлетворяет автоматически.
Поэтому, очевидно, подставление уравнение $(*)$ в исходную СЛАУ вместо ее последнего уравнения решения не меняет. Зато, мы можем поделить уравнение $(*)$ на $\alpha$ это увеличит определитель (см. выше).
Примечание. Когда мы последнее уравнение исходной СЛАУ заменим уравнением $(*)$, то матрица новой СЛАУ - это та матрица, которая в сообщении от Чт Окт 18, 2007 13:45:25 была названа второй. А когда поделим на постоянную, - получим СЛАУ с матрицей, названной там же третьей.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение19.10.2007, 12:22 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/08/07
5420
Нов-ск
Fgolm писал(а):
Уравнение вида: $ \alpha \cdot d_{nj} = f_n \ \ \ \ \ (*)$
($ f_n $ - то значение, которое пойдет в новый вектор свободного члена на место последнего элемента) не входит в исходную СЛАУ и является линейно независимым по отношению к первым $\left( {N - 1} \right)$ уравнениям этой СЛАУ. Это уравнение является условием, которому решение исходной СЛАУ удовлетворяет автоматически.
Поэтому, очевидно, подставление уравнение $(*)$ в исходную СЛАУ вместо ее последнего уравнения решения не меняет. Зато, мы можем поделить уравнение $(*)$ на $\alpha$ это увеличит определитель (см. выше).

Извините, но я не понимаю, ни что Вы делаете, ни в чем проблема. Попробуйте объяснить кому-нибудь еще.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 17 ]  На страницу 1, 2  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group