Определитель матрицы и ее обусловленность

[Fgolm]

TOTAL писал(а):

Извините, но я не понимаю, ни что Вы делаете, ни в чем проблема. Попробуйте объяснить кому-нибудь еще.

, пробовал и, собственно, пробую.
Проблема:

Fgolm писал(а):

В принципе само по себе число обусловленности меня не интересует. Мне просто нужен еще один критерий (объективный, такой как число обусловленности), в дополнение к определителю, который бы иллюстрировал улучшение свойств матрицы коэффициентов. Например, неплохо бы показать, что при такой замене увеличится скорость сходимости итерационного процесса (метод простой итерации).

Плюс текст остальных сообщений.

[Fgolm]

Попробую систематизировать изложенное.
Имеется СЛАУ:
$AX=B \ \ \ \ \ \ \ \ (1)$
или
$\sum\limits_{j = 1}^N {a_{ij} x_j } = b_i ,\quad i = \overline {1,N} \ \ \ \ ({1'})$
Решение этой СЛАУ (${x_j}, j = \overline {1,N} $) удовлетворяет условию $(*)$:
$ \alpha \ d_{Nj}\ x_j = f_N, \ \ j = \overline {1,N} \ \ \ \ \ (*)$
или
$ \ d_{Nj}\ x_j = \frac{{f_N }}{\alpha}, \ \ j = \overline {1,N}\ \ \ \ \ ({*'})$
Поэтому замена одного из уравнений СЛАУ $(1')$, например последнего, на уравнение $(*')$ решения не меняет.
Запишем новую систему в виде:
$ \left\{ \begin{array}{l} \sum\limits_{j = 1}^N {a_{ij} x_j } = b_i, \ \ i = \overline {1,N-1}, \\ d_{ij}\ x_j = \frac{{f_i }}{\alpha}, \ \quad i = N. \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (2) \end{array} \right. $
Однако, получается, что определитель матрицы СЛАУ $(2)$ выше, чем определитель матрицы СЛАУ $(1')$. Это вытекает из свойств, заложенных в метод, который сводится к данной СЛАУ.
Далее возникает вопрос, будет ли при этом возрастать обусловленность СЛАУ.
Был приведен конкретный пример СЛАУ: СЛАУ без замены (СЛАУ $(1')$) и СЛАУ с заменой (СЛАУ $(2)$).
Приведу вектора собственных значений для матриц СЛАУ $(1')$ и СЛАУ $(2)$ в упомянутых примерах:
$\left \lambda _A = \left ( \begin{array} {1} {1.89057}& {1.49286}& {1.44432}& {1.33405}& {1.31875}& {1.18304}& {0.62034}& {0.56112}& {0.15295}& {0.00199}\end{array} \right ) $ $\left \lambda _{A^{\left( d \right)} } = \left ( \begin{array} {1} {1.87714}& {1.49268}& {1.36701}& {1.32725}& {1.18310}& {1.16393}& {1.16393}& {0.64487}& {0.56198}& {0.15297}\end{array} \right ) $
Из этого примера видно, что вместе с определителем возрастает, также и обусловленность матрицы СЛАУ $(2)$.
Это совпадение?
Характерной особенностью для моих СЛАУ (не в зависимости от числа уравнений) является то, что, как и в данном примере, максимальные по модулю с.з. (а тут приведены именно модули с.з.) отличаются незначительно, а, вот, минимальные с.з. отличаются как видно на 2 порядка.