2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




На страницу 1, 2, 3  След.
 
 Пара задач по рядам
Сообщение26.03.2013, 20:45 
1) Следует ли из сходимости ряда $a_n$ сходимость ряда $a_n^3$
2) Имеем функции f и g, эквивалентные при $x\to x_0$. Доказать что $\ln(f(x))$ эквивалентно $\ln(g(x))$

 
 
 
 Re: Пара задач по рядам
Сообщение26.03.2013, 20:51 
Аватара пользователя
http://dxdy.ru/topic37253.html

Во второй так и тянет полопиталить.

 
 
 
 Re: Пара задач по рядам
Сообщение26.03.2013, 21:09 
gris, спасибо!

Есть еще усложненный вариант этой задачи: если из сходимости ряда следует сходимость ряда $f(a_n)$ то $f(x) = kx$ в некоторой окрестности нуля

 
 
 
 Re: Пара задач по рядам
Сообщение27.03.2013, 07:50 
gris в сообщении #701788 писал(а):
Во второй так и тянет полопиталить.


функции не обязательно дифференциуемы

 
 
 
 Re: Пара задач по рядам
Сообщение27.03.2013, 08:29 
Аватара пользователя
Может быть тогда доказать по определению пользуясь непрерывностью логарифма? Если функции обе бесконечно малые, то как-нибудь это учесть.

 
 
 
 Re: Пара задач по рядам
Сообщение27.03.2013, 09:36 
Аватара пользователя
2 -- неверно: $x\sim x^2$ при $x\to1$, но $\ln x/\ln x^2=1/2$.
Но в Ваших условиях можно утверждать, что $\ln f=\ln g+o(1)$, так что эквивалентность будет, если $g$ отделена от 1.

1 -- неверно: $a_n=\cos(2\pi n/3)/\sqrt[3]n$.

 
 
 
 Re: Пара задач по рядам
Сообщение27.03.2013, 13:35 
ex-math в сообщении #701930 писал(а):
1 -- неверно: $a_n=\cos(2\pi n/3)/\sqrt[3]n$.

Это что, контрпример? По-вашему, ряд $a_n^3$ расходится?

 
 
 
 Re: Пара задач по рядам
Сообщение27.03.2013, 14:19 
Аватара пользователя
Э... возможно, Вы удивитесь, но таки да.

 
 
 
 Re: Пара задач по рядам
Сообщение27.03.2013, 15:51 
ex-math в сообщении #701930 писал(а):
2 -- неверно: $x\sim x^2$ при $x\to1$, но $\ln x/\ln x^2=1/2$.


забыл уточнить по второй задаче: функции f и g стремятся при $x \to x_0$ к нулю или бесконечности. Поэтому данный пример к сожалению не подходит.

 
 
 
 Re: Пара задач по рядам
Сообщение27.03.2013, 16:11 
Действительно удивлюсь, хотя на сходимость ряда, думаю, это никак не повлияет. Члены стремятся к нулю; по знакам -- положительный, два отрицательных. Собираем пару отрицательных членов в один, получаем знакопеременный ряд с стремящимися к нулю членами. Он сходится. Собирать, не меняя порядка -- помнится, можно, впрочем, если надо, могу и доказать в конкретном случае.

 
 
 
 Re: Пара задач по рядам
Сообщение27.03.2013, 16:15 
Аватара пользователя
Не всякий знакопеременный ряд со стремящимися к нулю членами сходится. Вы здесь опираетесь на какое-то известное утверждение; вспомните, что в точности оно гласит.

 
 
 
 Re: Пара задач по рядам
Сообщение27.03.2013, 17:04 
Да, про монотонность забыл. Но, кстати сказать, для контрпримера надо ещё, чтобы ряд $\frac{\cos(2\pi/3)}{\sqrt[3]n}$ сходился. Надо ещё поразобраться.

 
 
 
 Re: Пара задач по рядам
Сообщение27.03.2013, 17:09 
Аватара пользователя
iifat в сообщении #702184 писал(а):
для контрпримера надо ещё, чтобы ряд $\frac{\cos(2\pi/3)}{\sqrt[3]n}$ сходился.
А вот для него годится то самое рассуждение, которое Вы предлагали для его куба.

 
 
 
 Re: Пара задач по рядам
Сообщение27.03.2013, 19:44 
Спасибо всем за помощь!!!

По второй задаче никак немогу уйти дальше предела $\lim\limits_{x \to x_0} \frac{\ln(f(x))}{\ln(g(x))}  $ как доказать что он равен еденице? Напоминаю, что функции недеференцируемы.


С более общим вариантом первой задачи
Цитата:
если из сходимости ряда следует сходимость ряда $f(a_n)$ то f=kx в некоторой окрестности нуля

ничего вообще придумать не могу. Хотел попробовать от противного, но что здесь опровергать?)

 
 
 
 Re: Пара задач по рядам
Сообщение27.03.2013, 20:14 
Аватара пользователя
Я ж Вам написал выше. Запишите эквивалентность через $o$ и прологарифмируйте. С Вашими доп.условиями на функции все получится.

По первой задаче самому интересно. Подразумевается, что посылка для всех $a_n$, лишь бы ряд сходился, так? Контрпример не придумывается, доказательство тоже. Оно должно быть специфическим, чтобы отсекать $f(x)=\sin x$ и подобные, почти линейные в окрестности нуля функции.

 
 
 [ Сообщений: 35 ]  На страницу 1, 2, 3  След.


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group