Пара задач по рядам

[Alvarg]

1) Следует ли из сходимости ряда $a_n$ сходимость ряда $a_n^3$
2) Имеем функции f и g, эквивалентные при $x\to x_0$. Доказать что $\ln(f(x))$ эквивалентно $\ln(g(x))$

[gris]

http://dxdy.ru/topic37253.html

Во второй так и тянет полопиталить.

[Alvarg]

gris, спасибо!

Есть еще усложненный вариант этой задачи: если из сходимости ряда следует сходимость ряда $f(a_n)$ то $f(x) = kx$ в некоторой окрестности нуля

[Alvarg]

gris в сообщении #701788 писал(а):

Во второй так и тянет полопиталить.

функции не обязательно дифференциуемы

[gris]

Может быть тогда доказать по определению пользуясь непрерывностью логарифма? Если функции обе бесконечно малые, то как-нибудь это учесть.

[ex-math]

2 -- неверно: $x\sim x^2$ при $x\to1$, но $\ln x/\ln x^2=1/2$.
Но в Ваших условиях можно утверждать, что $\ln f=\ln g+o(1)$, так что эквивалентность будет, если $g$ отделена от 1.

1 -- неверно: $a_n=\cos(2\pi n/3)/\sqrt[3]n$.

[iifat]

ex-math в сообщении #701930 писал(а):

1 -- неверно: $a_n=\cos(2\pi n/3)/\sqrt[3]n$.

Это что, контрпример? По-вашему, ряд $a_n^3$ расходится?

[ИСН]

Э... возможно, Вы удивитесь, но таки да.

[Alvarg]

ex-math в сообщении #701930 писал(а):

2 -- неверно: $x\sim x^2$ при $x\to1$, но $\ln x/\ln x^2=1/2$.

забыл уточнить по второй задаче: функции f и g стремятся при $x \to x_0$ к нулю или бесконечности. Поэтому данный пример к сожалению не подходит.

[iifat]

Действительно удивлюсь, хотя на сходимость ряда, думаю, это никак не повлияет. Члены стремятся к нулю; по знакам -- положительный, два отрицательных. Собираем пару отрицательных членов в один, получаем знакопеременный ряд с стремящимися к нулю членами. Он сходится. Собирать, не меняя порядка -- помнится, можно, впрочем, если надо, могу и доказать в конкретном случае.

[ИСН]

Не всякий знакопеременный ряд со стремящимися к нулю членами сходится. Вы здесь опираетесь на какое-то известное утверждение; вспомните, что в точности оно гласит.

[iifat]

Да, про монотонность забыл. Но, кстати сказать, для контрпримера надо ещё, чтобы ряд $\frac{\cos(2\pi/3)}{\sqrt[3]n}$ сходился. Надо ещё поразобраться.

[ИСН]

iifat в сообщении #702184 писал(а):

для контрпримера надо ещё, чтобы ряд $\frac{\cos(2\pi/3)}{\sqrt[3]n}$ сходился.

А вот для него годится то самое рассуждение, которое Вы предлагали для его куба.

[Alvarg]

Спасибо всем за помощь!!!

По второй задаче никак немогу уйти дальше предела $\lim\limits_{x \to x_0} \frac{\ln(f(x))}{\ln(g(x))} $ как доказать что он равен еденице? Напоминаю, что функции недеференцируемы.


С более общим вариантом первой задачи

Цитата:

если из сходимости ряда следует сходимость ряда $f(a_n)$ то f=kx в некоторой окрестности нуля

ничего вообще придумать не могу. Хотел попробовать от противного, но что здесь опровергать?)

[ex-math]

Я ж Вам написал выше. Запишите эквивалентность через $o$ и прологарифмируйте. С Вашими доп.условиями на функции все получится.

По первой задаче самому интересно. Подразумевается, что посылка для всех $a_n$, лишь бы ряд сходился, так? Контрпример не придумывается, доказательство тоже. Оно должно быть специфическим, чтобы отсекать $f(x)=\sin x$ и подобные, почти линейные в окрестности нуля функции.