Отображение плоскости в вещественную прямую, помогите решить

[Ktina]

В каждой точке плоскости "записано" какое-то действительное число.
Может ли оказаться, что для любого квадрата сумма чисел, "записанных" в его вершинах, равняется периметру этого квадрата?
(Отбор на Всеукр, 2009)

У меня вырисовывается такая идея.
Взять точки (0, 0), (1, 0), (2, 0), (0, 1), (1, 1), (2, 1), (0, 2), (1, 2), (2, 2).
Сумма чисел в четырёх точках, образующих большой квадрат 2 на 2, равна 8.
Сумма чисел в остальных четырёх точках (центральную пока проигнорируем) равна $4\sqrt 2$.
Теперь сложим суммы четырёх четвёрок точек, образующих маленькие квадраты 1 на 1. Получим 16. При этом точки, образующие большой квадрат 2 на 2, подсчитанны по разу, точки, сумма которых равна $4\sqrt 2$, по два раза, а центральная точка -- четыре раза. Но тогда число в центральной точке должно быть отрицательным. Но ведь любую точку плоскости можно аналогичным образом сделать центральной. Значит, во всех точках записаны отрицательные числа -- противоречие!

Я на правильном пути?

[Shadow]

Правильно.

Ktina в сообщении #701436 писал(а):

Но тогда число в центральной точке должно быть отрицательным

Более того, знаем его конкретное значение. Можно придумать 100 способов прийти к противоречию. У Вас самый ленивый.

[Ktina]

Shadow в сообщении #701636 писал(а):

Можно придумать 100 способов прийти к противоречию. У Вас самый ленивый.

А у Вас?

[Shadow]

А я не решал, я читал Ваше решение. Все хорошо, все правильно. Как по другому прийти к противоречию...даже теряюсь. Если не ошибся в арифметики, в центральной точке должно быть записано число $2(1-\sqrt{2})$. Если измениь масштаб, в той же точке будет другое: $2m(1-\sqrt{2})$. Как угодно, у Вас правильно

[Ktina]

Shadow,
Спасибо!

[TOTAL]

Сумма чисел в любых двух точках равна расстоянию между ними, умноженному на $\sqrt{2}.$

[Ktina]

TOTAL,
Почему?

[Shadow]

Не за что. (действительно). При масштабирование формула будет другая....но все равно. Вообще лучше без координат. Рассмотрим квадрат $ABCD$ со стороной $2a$, и квадрат, вершинами которого являются середины сторон $ABCD$...

[TOTAL]

Ktina в сообщении #701652 писал(а):

TOTAL,
Почему?

Сумма чисел на концах одной диагонали квадрата равна сумме чисел на концах другой диагонали квадрата. (Разбиваем квадрат на 4 квадрата и от черных квадратов отнимаем белые квадраты.)

-- Вт мар 26, 2013 17:49:02 --

Из квадрата делаем шахматную доску с нечетным числом клеток. От белых клеток отнамаем черные. И получаем, что сумма чисел в углах доски равна сумме чисел в углах одной клетки. А периметры у них разные.