Задача. Кострикин 1.1

[Alexander__]

Здравствуйте!

Необходимо доказать, что (\cup_{i \in I} A_i) \cap B = \cup_{i \in I} (A_i \cap B)

Пожалуйста, подскажите верно ли такое решение?

(A_1 \cup A_2 \cup ... \cup A_n) \cap B = (A_1 \cup (A_2 \cup ... \cup A_n)) \cap B =^{(1)} (A_1 \cap B) \cup ((A_2 \cup ... \cup A_n) \cap B) = ... = (A_1 \cap B) \cup (A_2 \cap B) \cup ... \cup (A_n \cap B)

(1) дистрибутивность

[SpBTimes]

Вообще говоря неверно, т.к. $i$ пробегает произвольное мн-во индексов $I$.

[Alexander__]

Т.е. неверно, что \cup_{i \in I} A_i = A_1 \cup A_2 \cup ... \cup A_n? Чему же тогда оно равно?

[SpBTimes]

Ну это заведомо неверно, или $I$ конечно?

[AV_77]

$I$ это не конечное множество из элементов $\{ 1, 2, \ldots, n \}$, а произвольное множество индексов.

[SpBTimes]

(Оффтоп)

AV_77
Ваша подпись великолепна!

[AV_77]

(Оффтоп)

SpBTimes в сообщении #693404 писал(а):

Ваша подпись великолепна!

О, спасибо! Я как увидел сразу решил - надо брать.

[Alexander__]

AV_77 в сообщении #693402 писал(а):

$I$ это не конечное множество из элементов $\{ 1, 2, \ldots, n \}$, а произвольное множество индексов.

Т.е. например для X = \{ 0,1,2,3,4,5\} и i = \{2,4,5\}, A_i=\{1,3,4\}? Я правильно понял, что в случае бесконечного $X$ множество $I$ также бесконечно?

[AV_77]

Откуда у вас тут $X$ появился? Раньше его не было.
$I$ - это просто какое-то множество. Может быть конечное, может быть бесконечное. Каждому элементу $i \in I$ соответствует некоторое множество $A_i$ Если, например, $I = \{ 1, 2 \}$, то имеем $A_1 \cup A_2$. А если $I = \mathbb{R}$, то имеем $A_1 \cup A_{\sqrt{2}} \cup A_2 \cup A_e \cup A_{\pi} \cup \ldots$ где в объединении каждому вещественному числу $\alpha$ соответствует некоторое множество $A_{\alpha}$.

[Alexander__]

AV_77 в сообщении #693417 писал(а):

Откуда у вас тут $X$ появился? Раньше его не было.
$I$ - это просто какое-то множество. Может быть конечное, может быть бесконечное. Каждому элементу $i \in I$ соответствует некоторое множество $A_i$ Если, например, $I = \{ 1, 2 \}$, то имеем $A_1 \cup A_2$. А если $I = \mathbb{R}$, то имеем $A_1 \cup A_{\sqrt{2}} \cup A_2 \cup A_e \cup A_{\pi} \cup \ldots$ где в объединении каждому вещественному числу $\alpha$ соответствует некоторое множество $A_{\alpha}$.

Прошу прощения. Условие задачи следующее. Пусть A_i (i \in I), B - подмножества в $X$. Доказать равенство: $(\cup_{i \in I} A_i) \cap B = \cup_{i \in I} (A_i \cap B)$.

[AV_77]

В любом случае $I$ с $X$ никак не связаны.

[SpBTimes]

Ну так вот, $I$ - произвольной природы. И именно поэтому ваше доказательство неверно

[Alexander__]

Теперь ясно. Тогда верно ли такое?

$(\cup_{i \in I} A_i) \cap B = (A_k \cup (\cup_{i \in I \setminus k} A_i)) \cap B = (A_k \cap B) \cup ((\cup_{i \in I \setminus k} A_i) \cap B)$

Применим эту операцию для всех оставшихся $A_i (i \in I \setminus k)$, в результате чего получим $\cup_{i \in I} (A_i \cap B)$

[AV_77]

Для конечного $I$ верное, а если $I$ бесконечно, то надо как-то осторожнее действовать. Проще не связываться с индукцией, а доказывать прям по определению равенства множеств.

[iifat]

Если про $I$ совсем уж ничего неизвестно, оно может пробегать и, например, отрезок действительных чисел. В этом случае формула верна, но индукция неприменима.