Задача. Кострикин 1.1

[Alexander__]

Верно ли такое доказательство?

Если $x \in (\cup_{i \in I} A_i) \cap B$, то $x$ принадлежит хотя бы одному пересечению $A_k \cap B (k \in I)$; и из того, что $(A_k \cap B) \subset \cup_{i \in I} (A_i \cap B)$, следует, что $(\cup_{i \in I} A_i) \cap B \subset \cup_{i \in I} (A_i \cap B)$.

Если $x \in \cup_{i \in I} (A_i \cap B) $, то $x$ принадлежит хотя бы одному $A_k \cap B (k \in I)$. Из того, что $A_k \subset (\cup_{i \in I} A_i)$ следует, что $(\cup_{i \in I} A_i) \cap B \supset \cup_{i \in I} (A_i \cap B)$.

Из чего следует, что $(\cup_{i \in I} A_i) \cap B = \cup_{i \in I} (A_i \cap B)$.

[SpBTimes]

Верно

[Alexander__]

Благодарю за помощь!

Могли бы вы навести на мысли, почему индукцию нельзя применять к множеством мощности континуум?

(Оффтоп)

Как-нибудь можно в тег Math писать отображаемые русские буквы?

[SpBTimes]

Индукция распространяется на конечные рассуждения. В бесконечности начинают происходить ужасные вещи.

[Alexander__]

Знаете где бы прочитать про эти "ужасные вещи"?

[SpBTimes]

Ну например. Вот берете вы 2, 3, 4 открытых множества и начинаете пересекать. И что? Получаете открытое.
Ну вот например: $(\frac{-1}{n}; 1 + \frac{1}{n})$. Однако что будет, если рассмотреть $\bigcap\limits_{n = 1}^{\infty}(-\frac{1}{n}; 1 + \frac{1}{n}) $?
Это одно из самых простых.

[Joker_vD]

(Оффтоп)

Alexander__ в сообщении #694290 писал(а):

Знаете где бы прочитать про эти "ужасные вещи"?

Говорят, матанализ на это богат — то там интеграл несобственный попадется, то ряд разойдется...

[iifat]

Alexander__ в сообщении #694257 писал(а):

почему индукцию нельзя применять к множеством мощности континуум

Формально -- потому что индукция есть приём на множестве натуральных чисел.
На пальцах -- потому что если мы говорим "1, 2, 3, ...", то рано или поздно любое натуральное число будет названо. Для действительных это не так.

[Alexander__]

Понятно. Благодарю всех за замечания!

(Оффтоп)

Кто-нибудь все таки знает как бы мне в math писать русские буквы?

[ИСН]

(Оффтоп)

$\text{вот\ так}$