2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2  След.
 
 Борелевские множества на прямой
Сообщение09.03.2013, 17:29 


18/11/12
77
Семейство борелевских множеств на множестве вещественных чисел определяем, как минимальную сигма-алгебру, содержащую все открытые множества.

Требуется доказать, что всякое борелевское множество представимо в виде счетного числа пересечений и объединений счетного набора открытых (или замкнутых) множеств. Можно ли сделать это, без использования трансфинитной индукции? Я слышал некоторые соображения, что да, но они очень расплывчатые, и боюсь, что мои описания этих методов еще больше все запутают. Если коротко, то используется идея, что на прямой есть счетная система открытых множеств, счетным объединением элементов которой можно получить любое открытое множество (ну например это все интервалы с рациональными концами). Однако зачем представлять каждое открытое множество в виде счетного объединения открытых, я так и не понял...

Может кому-нибудь все-таки известен способ доказательства данного утверждения без трансфинита?

 Профиль  
                  
 
 Re: Борелевские множества на прямой
Сообщение09.03.2013, 18:46 


23/12/07
1757
А что "метод подходящих множеств" (по Ширяеву) не проходит?

 Профиль  
                  
 
 Re: Борелевские множества на прямой
Сообщение09.03.2013, 21:18 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/12/10
1600
spb
Я не понимаю что-то, или вы же вводите сигма-алгебру (минимальную), которая содержит все открытые множества, а множества, входящие в нее, называете борелевскими.

Может, вы хотите доказать, что всякое открытое представимо в виде объединения/пересечения так называемых элементарных?

 Профиль  
                  
 
 Re: Борелевские множества на прямой
Сообщение09.03.2013, 23:01 


18/11/12
77
_hum_ в сообщении #693233 писал(а):
А что "метод подходящих множеств" (по Ширяеву) не проходит?

Можно ли немного подробнее об этом?
SpBTimes в сообщении #693373 писал(а):
Я не понимаю что-то, или вы же вводите сигма-алгебру (минимальную), которая содержит все открытые множества, а множества, входящие в нее, называете борелевскими.


Именно так.

А про открытые множества и так все известно...

 Профиль  
                  
 
 Re: Борелевские множества на прямой
Сообщение10.03.2013, 01:41 


23/12/07
1757
Sul в сообщении #693418 писал(а):
Можно ли немного подробнее об этом?

Суть в следующем: чтобы доказать какое-то свойство, которым обладают множества минимальной (над некоторой совокупностью исходных множеств) сигма алгебры, достаточно просто взять те множества, которые этим свойством обладают (т.н. "подходящие множетва"), и доказать, что они образуют сигма-алгебру, содержащую в себе исходные множества. Тогда из минимальности будет вытекать, что и все множества минимальной алгебры этим свойством также должны обладать.

 Профиль  
                  
 
 Re: Борелевские множества на прямой
Сообщение10.03.2013, 13:04 


18/11/12
77
В общем именно это я и пытался сделать: рассмотреть множества, представимые в виде счетного числа объединений и пересечений счетного набора открытых множеств, и показать, что они образуют сигма-алгебру. (Ну понятно, что она содержит открытые множества). Однако я даже плохо себе представляю как записать подобное условие... ну раз речь идет о счетном наборе, то возьмем те самые интервалы с рациональными концами. Проблема правда в порядке объединения/пересечения. Я ведь могу объединить их счетное число, потом пересечь полученное множество с полученным таким же образом, а потом объединить еще с каким-то и т.д., в итоге уйдем далеко за пределы бесконечности, если захотим...

 Профиль  
                  
 
 Re: Борелевские множества на прямой
Сообщение10.03.2013, 14:35 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/11/06
4171
Sul в сообщении #693571 писал(а):
Однако я даже плохо себе представляю как записать подобное условие... ну раз речь идет о счетном наборе, то возьмем те самые интервалы с рациональными концами. Проблема правда в порядке объединения/пересечения. Я ведь могу объединить их счетное число, потом пересечь полученное множество с полученным таким же образом, а потом объединить еще с каким-то и т.д., в итоге уйдем далеко за пределы бесконечности, если захотим...

Какое отношение это всё имеет к тому, что Вам нужно? Если мы собрали в множество все те множества, которые "представимы в виде счетного числа пересечений и объединений счетного набора открытых (или замкнутых) множеств", то этот набор множеств является сигма-алгеброй просто потому, что устраивает определению сигма-алгебры. Базовое множество там, с любым множеством, "представимым в виде счетного числа пересечений и объединений счетного набора открытых (или замкнутых) множеств" его дополнение тоже "представимо в виде счетного числа пересечений и объединений счетного набора открытых (или замкнутых) множеств" (это очевидно), ну и с любым счётным набором таковых их объединение тоже таково - тоже очевидно. Всё. Эта сигма-алгебра включает борелевскую по определению.

 Профиль  
                  
 
 Re: Борелевские множества на прямой
Сообщение10.03.2013, 15:36 


18/11/12
77
--mS-- в сообщении #693601 писал(а):
Sul в сообщении #693571 писал(а):
Однако я даже плохо себе представляю как записать подобное условие... ну раз речь идет о счетном наборе, то возьмем те самые интервалы с рациональными концами. Проблема правда в порядке объединения/пересечения. Я ведь могу объединить их счетное число, потом пересечь полученное множество с полученным таким же образом, а потом объединить еще с каким-то и т.д., в итоге уйдем далеко за пределы бесконечности, если захотим...

Какое отношение это всё имеет к тому, что Вам нужно? Если мы собрали в множество все те множества, которые "представимы в виде счетного числа пересечений и объединений счетного набора открытых (или замкнутых) множеств", то этот набор множеств является сигма-алгеброй просто потому, что устраивает определению сигма-алгебры. Базовое множество там, с любым множеством, "представимым в виде счетного числа пересечений и объединений счетного набора открытых (или замкнутых) множеств" его дополнение тоже "представимо в виде счетного числа пересечений и объединений счетного набора открытых (или замкнутых) множеств" (это очевидно), ну и с любым счётным набором таковых их объединение тоже таково - тоже очевидно. Всё. Эта сигма-алгебра включает борелевскую по определению.


Собственно из-за того, что я не могу записать требуемое условие на наши множества, мне и не представляются эти два пункта насчет дополнения и счетного объединения очевидными. Если получится их аккуратно доказать, то конечно все будет просто....

 Профиль  
                  
 
 Re: Борелевские множества на прямой
Сообщение10.03.2013, 20:41 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/12/10
1600
spb
Так а вы внимательно посомтрите, скажем, на дополнения до единицы вашего счетного объединения

 Профиль  
                  
 
 Re: Борелевские множества на прямой
Сообщение10.03.2013, 21:06 


18/11/12
77
Так вот вопрос, объединения или пересечения? Вообще почему я могу записать мое множество, используя при этом конечное число знаков "объединить" и "пересечь"? А если придется использовать счетное число знаков, то получится бесконечная последовательность, и тогда как применить к ней законы Моргана при дополнении, мне не ясно...

 Профиль  
                  
 
 Re: Борелевские множества на прямой
Сообщение10.03.2013, 21:22 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/12/10
1600
spb
Дополнение к открытому - замкнуто, а к замкнутому - открыто. Счетное объединение открытых открыто, пересечение - либо открыто, либо замкнуто.
С замкнутыми наоборот. Счетное пересечение замкнутых - замкнуто, а объединение - не факт.
Теперь и рассуждайте. Раз есть все открытые, то есть и все замкнутые (как дополнения к открытым) ну и т.д.

 Профиль  
                  
 
 Re: Борелевские множества на прямой
Сообщение10.03.2013, 21:34 


18/11/12
77
Ну, вообще говоря, счетное пересечение открытых может быть совершенно произвольным. Так вот в чем проблема с Вашими рассуждениями: есть все открытые, есть все замкнутые, но золотые слова "и так далее", которые подразумевают метод математической индукции здесь не проходит, потому что если мы построим последовательность семейств множеств, которые получаются следующее из предыдущего путем счетных объединений/пересечений, а потом объединим все эти семейства, то получим семейство, которое как бы "больше" всей этой последовательности. А потом так же можно сделать с семействами этого же типа...

 Профиль  
                  
 
 Re: Борелевские множества на прямой
Сообщение10.03.2013, 21:42 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/12/10
1600
spb
Они все равно не выйдут за базовое множество, так что я не понимаю проблемы.

 Профиль  
                  
 
 Re: Борелевские множества на прямой
Сообщение10.03.2013, 23:11 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


08/11/11
5940
--mS-- в сообщении #693601 писал(а):
ну и с любым счётным набором таковых их объединение тоже таково - тоже очевидно.


По-моему, это неверно.

http://en.wikipedia.org/wiki/Borel_hierarchy

Чтобы получить все борелевские множества, нужно итерировать операцию "произвести счетное количество теоретико-множественных операций" несколько раз. Причем "несколько" может быть любым счетным ординалом, и эти процедуры, вообще говоря, друг к другу не сводятся.

 Профиль  
                  
 
 Re: Борелевские множества на прямой
Сообщение11.03.2013, 11:42 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/11/06
4171
Несколько раз придётся итерировать, если исходить только из открытых, или только из замкнутых, и использовать только объединения, или только пересечения. Здесь же речь идёт о возможности использовать сразу и те, и другие, и то, и другое.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 26 ]  На страницу 1, 2  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group