Полиномиальное сглаживание

[Destin]

Приветствую участников форума!

Возник такой вопрос: необходимо найти способ рассчитать коэффициенты $a,~b,~c,~d$ кубического полинома вида $y(x)=a\cdot x^3+b\cdot x^2+c\cdot x+d,$ который сглаживает переход между двумя отрезками прямых см. рис.:



Известные данные: уравнения прямых в форме $y=k\cdot x+b,$ координаты их точки пересечения $(x_2,~y_2),$ размер поля допуска.

Неизвестные данные: расстояния $\Delta$ (равные) и, соответственно, координаты точек $(x_1,~y_1)$ и $(x_2,~y_2)$

Дополнительное условие: В точках пересечения кривой и отрезков $(x_1,~y_1)$ и $(x_3,~y_3)$ первая производная полинома должна быть равна первой производной примыкающего отрезка: $3a\cdot x_1^2+2b\cdot x_1 +c=k_1$ и $3a\cdot x_3^2+2b\cdot x_3+c=k_2$

Понимаю, что нужно составить систему уравнений, но никак не могу составить ее таким образом, чтобы можно было ее решить.

[ИСН]

Что мешает решить? Уравнений слишком мало? Или слишком много? Или они необычные, с бородами и с ружьём? Или ещё что-нибудь?

[Destin]

ИСН в сообщении #691755 писал(а):

Что мешает решить?

Проблема в том, что получается система следующего вида:

$$ \left\{ \begin{aligned} ax_1^3+bx_1^2+cx_1+d & = y_1\\ ax_3^3+bx_3^2+cx_3+d & = y_3\\ ax_2^3+bx_2^2+cx_2+d & = y_2+tol\\ 3ax_1^2+2bx_1+c & = k_1\\ 3ax_2^3+2bx_3+c & =k_2 \end{aligned} \right $$

и я не могу понять и найти в интернете, как решить такую систему, когда имеет место произведение неизвестных величин. Может быть, конечно, я совсем позабыл математику. Прошу придать правильное направление ходу мыслей

[ИСН]

Ну хорошо. А если бы, допустим, старшина сказал, что $\Delta=1$ - тогда всё остальное можете найти?

[_Ivana]

Судя по тому, как вы поставили задачу (с произвольными не заданными точками слияния полинома и прямых), она будет иметь множество решений при одном коридоре допуска.

[ИСН]

_Ivana, не усложняйте. Штык из означенного материала. Сказано "+tol" - значит, будет +tol.

[Xaositect]

Кстати, если по чертежу, то там будет на +tol, а больше. Но давайте пока с +tol.

[ИСН]

Да, где-то раза в полтора больше. Но это потом.

[Destin]

ИСН в сообщении #691856 писал(а):

Ну хорошо. А если бы, допустим, старшина сказал, что $\Delta=1$ - тогда всё остальное можете найти?

Да, тогда остальное находится без проблем, но мне как раз нужно правильно определить положение полинома.

Xaositect в сообщении #691859 писал(а):

Кстати, если по чертежу, то там будет на +tol, а больше. Но давайте пока с +tol.

Я это понимаю, сделал так для упрощения.

[Xaositect]

Destin в сообщении #691892 писал(а):

Да, тогда остальное находится без проблем, но мне как раз нужно правильно определить положение полинома.

Точно находится? и через $(x_2, y_2 + tol)$ проходит?

[ИСН]

Да-да, вот это самое. Какое у него получается значение в $x_2$?

[Destin]

Я понял свою ошибку, через $(x_2,~y_2)$ кривая действительно не проходит. Но как тогда возможно реализовать расчет полинома? В принципе мне не так важна степень полинома, она может быть и 2 и 4, главное чтобы соблюдалось условие прохождения его через точку $(x_2,~y_2)$ и равенство производных кривой и отрезков прямой в точках пересечения.

P. S. В условии также ошибка, вместо Неизвестные данные: расстояния $\Delta$ (равные) и, соответственно, координаты точек $(x_1,~y_1)$ и $(x_2,~y_2)$ должно конечно быть $(x_1,~y_1)$ и $(x_3,~y_3)$

[ИСН]

Вас не об этом спрашивали, а об совсем других букв. Конечно, кривая не проходит через $(x_2,~y_2)$, да и не может проходить - наоборот, там проходит ломаная. Это не надо даже совсем. Но вот Вы нашли какой-то многочлен (в конце той цепочки рассуждений, которая начинается моим "если бы старшина"). Какое-то значение же у него в $x_2$ есть? Найти его можете?
(приводить не надо - скорее всего, оно некрасивое)

[_Ivana]

Destin в сообщении #691892 писал(а):

ИСН в сообщении #691856 писал(а):

Ну хорошо. А если бы, допустим, старшина сказал, что $\Delta=1$ - тогда всё остальное можете найти?

Да, тогда остальное находится без проблем, но мне как раз нужно правильно определить положение полинома.

А затем старшина говорит - чета плохо проходит полином в точке $x_2$, давайте возьмем $\Delta=100$ и снова посмотрим А дальше у вас 2 варианта - либо, как в артиллерии, взять $\Delta$ в "вилку" и приближаться к искомому состоянию методом половинного деления, либо выразить аналитически значение полинома в точке $x_2$ через $\Delta$ и решить это уравнение относительно последнего.

[Евгений Машеров]

У Вас условий многовато. Полином третьей степени - 4 коэффициента. Следственно, можно взять 4 условия. У нас уже 4 есть - два условия на пересечение и два условия на производные. При этом проходить через "угол ломаной" он не будет. Если добавить степени полиному, то в принципе проходить может. Но выглядеть станет препохабно. Вместо плавного изгиба пойдёт виляние, и может заскочить за угловую точку. Если ещё повысить степень - последнего, пожалуй, и удастся избежать, введя ещё одно условие - чтобы в этой точке производная полинома была бы 0. Но виляние по подходе к ней ещё возрастёт.