2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2  След.
 
 Полиномиальное сглаживание
Сообщение06.03.2013, 15:32 
Аватара пользователя


25/08/09
19
Chemnitz, Germany
Приветствую участников форума!

Возник такой вопрос: необходимо найти способ рассчитать коэффициенты $a,~b,~c,~d$ кубического полинома вида $y(x)=a\cdot x^3+b\cdot x^2+c\cdot x+d,$ который сглаживает переход между двумя отрезками прямых см. рис.:

Изображение

Известные данные: уравнения прямых в форме $y=k\cdot x+b,$ координаты их точки пересечения $(x_2,~y_2),$ размер поля допуска.

Неизвестные данные: расстояния $\Delta$ (равные) и, соответственно, координаты точек $(x_1,~y_1)$ и $(x_2,~y_2)$

Дополнительное условие: В точках пересечения кривой и отрезков $(x_1,~y_1)$ и $(x_3,~y_3)$ первая производная полинома должна быть равна первой производной примыкающего отрезка: $3a\cdot x_1^2+2b\cdot x_1 +c=k_1$ и $3a\cdot x_3^2+2b\cdot x_3+c=k_2$

Понимаю, что нужно составить систему уравнений, но никак не могу составить ее таким образом, чтобы можно было ее решить.

 Профиль  
                  
 
 Re: Полиномиальное сглаживание
Сообщение06.03.2013, 15:39 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/05/06
13435
с Территории
Что мешает решить? Уравнений слишком мало? Или слишком много? Или они необычные, с бородами и с ружьём? Или ещё что-нибудь?

 Профиль  
                  
 
 Re: Полиномиальное сглаживание
Сообщение06.03.2013, 18:11 
Аватара пользователя


25/08/09
19
Chemnitz, Germany
ИСН в сообщении #691755 писал(а):
Что мешает решить?


Проблема в том, что получается система следующего вида:
$$
\left\{
\begin{aligned}
ax_1^3+bx_1^2+cx_1+d & = y_1\\
ax_3^3+bx_3^2+cx_3+d & = y_3\\
ax_2^3+bx_2^2+cx_2+d & = y_2+tol\\
3ax_1^2+2bx_1+c & = k_1\\
3ax_2^3+2bx_3+c & =k_2
\end{aligned}
\right
$$

и я не могу понять и найти в интернете, как решить такую систему, когда имеет место произведение неизвестных величин. Может быть, конечно, я совсем позабыл математику. Прошу придать правильное направление ходу мыслей :?

 Профиль  
                  
 
 Re: Полиномиальное сглаживание
Сообщение06.03.2013, 18:51 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/05/06
13435
с Территории
Ну хорошо. А если бы, допустим, старшина сказал, что $\Delta=1$ - тогда всё остальное можете найти?

 Профиль  
                  
 
 Re: Полиномиальное сглаживание
Сообщение06.03.2013, 18:54 


05/09/12
2587
Судя по тому, как вы поставили задачу (с произвольными не заданными точками слияния полинома и прямых), она будет иметь множество решений при одном коридоре допуска.

 Профиль  
                  
 
 Re: Полиномиальное сглаживание
Сообщение06.03.2013, 19:00 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/05/06
13435
с Территории
_Ivana, не усложняйте. Штык из означенного материала. Сказано "+tol" - значит, будет +tol.

 Профиль  
                  
 
 Re: Полиномиальное сглаживание
Сообщение06.03.2013, 19:02 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


06/10/08
6422
Кстати, если по чертежу, то там будет на +tol, а больше. Но давайте пока с +tol.

 Профиль  
                  
 
 Re: Полиномиальное сглаживание
Сообщение06.03.2013, 19:12 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/05/06
13435
с Территории
Да, где-то раза в полтора больше. Но это потом.

 Профиль  
                  
 
 Re: Полиномиальное сглаживание
Сообщение06.03.2013, 20:12 
Аватара пользователя


25/08/09
19
Chemnitz, Germany
ИСН в сообщении #691856 писал(а):
Ну хорошо. А если бы, допустим, старшина сказал, что $\Delta=1$ - тогда всё остальное можете найти?

Да, тогда остальное находится без проблем, но мне как раз нужно правильно определить положение полинома.

Xaositect в сообщении #691859 писал(а):
Кстати, если по чертежу, то там будет на +tol, а больше. Но давайте пока с +tol.

Я это понимаю, сделал так для упрощения.

 Профиль  
                  
 
 Re: Полиномиальное сглаживание
Сообщение06.03.2013, 20:19 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


06/10/08
6422
Destin в сообщении #691892 писал(а):
Да, тогда остальное находится без проблем, но мне как раз нужно правильно определить положение полинома.
Точно находится? и через $(x_2, y_2 + tol)$ проходит?

 Профиль  
                  
 
 Re: Полиномиальное сглаживание
Сообщение06.03.2013, 21:26 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/05/06
13435
с Территории
Да-да, вот это самое. Какое у него получается значение в $x_2$?

 Профиль  
                  
 
 Re: Полиномиальное сглаживание
Сообщение07.03.2013, 13:57 
Аватара пользователя


25/08/09
19
Chemnitz, Germany
Я понял свою ошибку, через $(x_2,~y_2)$ кривая действительно не проходит. Но как тогда возможно реализовать расчет полинома? В принципе мне не так важна степень полинома, она может быть и 2 и 4, главное чтобы соблюдалось условие прохождения его через точку $(x_2,~y_2)$ и равенство производных кривой и отрезков прямой в точках пересечения.

P. S. В условии также ошибка, вместо Неизвестные данные: расстояния $\Delta$ (равные) и, соответственно, координаты точек $(x_1,~y_1)$ и $(x_2,~y_2)$ должно конечно быть $(x_1,~y_1)$ и $(x_3,~y_3)$

 Профиль  
                  
 
 Re: Полиномиальное сглаживание
Сообщение07.03.2013, 14:13 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/05/06
13435
с Территории
Вас не об этом спрашивали, а об совсем других букв. Конечно, кривая не проходит через $(x_2,~y_2)$, да и не может проходить - наоборот, там проходит ломаная. Это не надо даже совсем. Но вот Вы нашли какой-то многочлен (в конце той цепочки рассуждений, которая начинается моим "если бы старшина"). Какое-то значение же у него в $x_2$ есть? Найти его можете?
(приводить не надо - скорее всего, оно некрасивое)

 Профиль  
                  
 
 Re: Полиномиальное сглаживание
Сообщение07.03.2013, 15:19 


05/09/12
2587
Destin в сообщении #691892 писал(а):
ИСН в сообщении #691856 писал(а):
Ну хорошо. А если бы, допустим, старшина сказал, что $\Delta=1$ - тогда всё остальное можете найти?

Да, тогда остальное находится без проблем, но мне как раз нужно правильно определить положение полинома.
А затем старшина говорит - чета плохо проходит полином в точке $x_2$, давайте возьмем $\Delta=100$ и снова посмотрим :-) А дальше у вас 2 варианта - либо, как в артиллерии, взять $\Delta$ в "вилку" и приближаться к искомому состоянию методом половинного деления, либо выразить аналитически значение полинома в точке $x_2$ через $\Delta$ и решить это уравнение относительно последнего.

 Профиль  
                  
 
 Re: Полиномиальное сглаживание
Сообщение08.03.2013, 15:09 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


11/03/08
9490
Москва
У Вас условий многовато. Полином третьей степени - 4 коэффициента. Следственно, можно взять 4 условия. У нас уже 4 есть - два условия на пересечение и два условия на производные. При этом проходить через "угол ломаной" он не будет. Если добавить степени полиному, то в принципе проходить может. Но выглядеть станет препохабно. Вместо плавного изгиба пойдёт виляние, и может заскочить за угловую точку. Если ещё повысить степень - последнего, пожалуй, и удастся избежать, введя ещё одно условие - чтобы в этой точке производная полинома была бы 0. Но виляние по подходе к ней ещё возрастёт.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 20 ]  На страницу 1, 2  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group