Полиномиальное сглаживание

[Destin]

Большое всем спасибо, задача решена.

Для решения вместо кубического полинома я использовал полином 2-й степени вида: $y(x)=a\cdot x^2+b\cdot x+c$ и составил следующую систему уравнений:

$$ \left\{ \begin{aligned} a\cdot x_2^2+b\cdot x_2+c & = y_2+tol\\ a\cdot x_1^2+b\cdot x_1+c & = y_1\\ a\cdot x_3^2+b\cdot x_3+c & = y_3 \end{aligned} \right $$

Исходя из условий равенства производных выразил $x_1$ и $x_3$: $x_1=\frac{k_1-b}{2a}$ и $x_3=\frac{k_2-b}{2a}$. $y_1$ и $y_3$ выразил через уравнение прямой: $y_1=k_1\cdot x_1+m$ и $y_3=k_2\cdot x_3+n$ Ну а дальше дело техники. Спасибо всем за помощь

[ИСН]

Так часто бывает: решаешь одну задачу, а в процессе оказывается, что надо было другую. Если не требуется, чтобы расстояния $\Delta$ слева и справа были одинаковыми - тогда, конечно, хватит и 2 степени.

[Destin]

В продожение темы. Каким образом возможно и возможно ли вообще решить систему уравнений при условии, что не только первые но и вторые производные в точках примыкания отрезков и полинома равны. По аналогии с квадратным полиномом в предыдущем случае, в данном случае использую полином 4-й степени и составляю такую систему уравнений:
$ \left\{ \begin{aligned} a\cdot x_2^4+b\cdot x_2^3+c\cdot x_2^2+d\cdot x_2+e & = y_2+tol\\ a\cdot x_1^4+b\cdot x_1^3+c\cdot x_1^2+d\cdot x_1+e & = y_1\\ a\cdot x_3^4+b\cdot x_3^3+c\cdot x_3^2+d\cdot x_3+e & = y_3\\ 4a\cdot x_1^3+3b\cdot x_1^2+2c\cdot x_1+d & = k_1\\ 4a\cdot x_3^3+3b\cdot x_3^2+2c\cdot x_3+d & = k_2\\ 12a\cdot x_1^2+6b\cdot x_1+2c & = 0\\ 12a \cdot x_3^2+6b\cdot x_3+2c & = 0 \end{aligned} \right $
Из двух последних уравнений ясно, что $x_{1,3}=\frac{-b\pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a},$ однако подставляя эти значения в оставшиеся пять уравнений получаю слишком сложную систему и Mathcad отказывается ее решать даже численными методами (в качестве приближений использую значения коэффициентов, найденные при расчете квадратного полинома, например $a=0,~b=0,~c=1,~d=-4,~e=6$) Возможно ли все-таки найти ее решение?

[_Ivana]

Destin в сообщении #694030 писал(а):

Каким образом возможно и возможно ли вообще решить систему уравнений при условии, что не только первые но и вторые производные в точках примыкания отрезков и полинома равны.

Интересно, какие будут вторые производные у прямых
Вам же уже написали метод решения. Для интереса посмотрите термин "сплайн" (хоть в гугле), в частности локальный сплайн Эрмита (общий случай, для нескольких производных).

-- 11.03.2013, 13:45 --

ЗЫ при достаточном интересе и желании можно вообще искать 2 полинома, склеивающихся в средней точке. Например, 2 полинома 3 степени - 8 неизвестных, по 3 условия в крайних точках (0,1,2 производные) + 3 те же условия в точке слияния $x_2$ минус одна степень свободы из-за неопределенности точек слияния с прямыми (при условии равенства $\Delta$) - итого 8 линейных уравнений на 8 неизвестных

[Destin]

_Ivana в сообщении #694040 писал(а):

Интересно, какие будут вторые производные у прямых

А ноль это разве не значение? Нулевая кривизна.

_Ivana в сообщении #694040 писал(а):

Вам же уже написали метод решения. Для интереса посмотрите термин "сплайн" (хоть в гугле), в частности локальный сплайн Эрмита (общий случай, для нескольких производных).

Спасибо, я знаю про сплайны, однако в данном случае вопрос в том возможно ли решить систему уравнений.

_Ivana в сообщении #694040 писал(а):

ЗЫ при достаточном интересе и желании можно вообще искать 2 полинома, склеивающихся в средней точке. Например, 2 полинома 3 степени - 8 неизвестных, по 3 условия в крайних точках (0,1,2 производные) + 3 те же условия в точке слияния минус одна степень свободы из-за неопределенности точек слияния с прямыми (при условии равенства ) - итого 8 линейных уравнений на 8 неизвестных

Интересный вариант, вполне может заменить мой, спасибо