Вопрос из теории хаоса

[kappa_t]

Здравствуйте! Сейчас занимаюсь моделированием электрической цепи Чуа в матлабе. Цепь Чуа - это такой генератор (осциллятор), который может создавать хаотический сигнал. Поведение цепи можно описать тремя дифференциальными уравнениями, аналитически не решаются, решаются численно.
$dx/dt = \alpha(y -x - f(x))$
$dy/dt = x - y + z$
$dz/dt = -\beta y$
Фунция $f$ - кусочно-линейная, описывается как:
$f(x) = G_bx+1/2(G_a-G_b)(|x+E|-|x-E|)$,
где $G_a$ и $G_b$ ($G_a>G_b$) - отрицательные наклоны функции, соответственно, в области от $-E$ до $E$ будет наклон $G_a$, а там где $|x| > E$, будет наклон $G_b$.
Так вот, решение этих уравнений численным методом позволяет построить карту x-y, на которой можно, при определённых значениях контрольных параметров, наблюдать хаотический аттрактор. Если в начальные условия дифф.уров ввести незначительные изменения, то мы получим совершенно другую траекторию на карте, но эта траектория будет лежать на том же аттракторе. Как говорит теория, хаос - это сильная чувствительность к начальным условиям. Эта чувствительность для данной системы наблюдается. Но как проверить её на хаотичность? На сколько я понял, существуют экспоненты Ляпунова, которые показывают как быстро две траектории расходятся. Я попробовал построить график расхождения траекторий со временем простым способом нахождения расстояния между точками траекторий в одинаковые моменты времени. На графике видно, что когда траектории расходятся, скорость расхождения имеет зависимость от времени, похожую на экспоненциальную.

Так вот, сам вопрос, можно ли эту скорость расхождения назвать экспонентой Ляпунова? Подтверждает ли наличие этого расхождения хаотичность системы?
Спасибо!
Извините, если очень коряво объяснил проблему.

Deggial: формулы я поправил. В следующий раз оформляйте все формулы ТеХом, в противном случае тема будет перемещена в Карантин.

[Oleg Zubelevich]

kappa_t в сообщении #685975 писал(а):

Поведение цепи можно описать тремя дифференциальными уравнениями, аналитически не решаются

сперва научитесь решать линейные системы с постоянной матрицей, а потом рассуждайте о хаотических атракторах

[kappa_t]

Oleg Zubelevich в сообщении #686042 писал(а):

kappa_t в сообщении #685975 писал(а):

Поведение цепи можно описать тремя дифференциальными уравнениями, аналитически не решаются

сперва научитесь решать линейные системы с постоянной матрицей, а потом рассуждайте о хаотических атракторах

Понимаю ваше негодование: наверное, я где-то сказал глупость. Дело в том, что я бы с удовольствием научился сначала решать линейные системы с постоянной матрицей, но мне необходимо иметь дело с аттракторами. Я работаю над проектом с этим генератором Чуа и метематическое моделирования является лишь его частью. До этого я с теорией хаоса был незнаком, а сейчас мне потребовалось понять конкретный раздел этой теории. Много читал литературы на эту тему, но кое-что мне осталось непонятным, вот я и обратился за помощью на этот форум. В сети не так много информации по ТХ (или я просто плохо ищу) поэтому хотелось бы поговорить с людьми, эту теорию понимающими. Если вы можете мне помочь, просто ткнув носом в книгу или статью, я был бы и тому благодарен.

[Alex_J]

Я тоже не особо знаком с такими специфическими понятиями, но я бы, набрав большое кол-во данных, посчитал бы автокорреляцию, задавшись неким критерием, выше какого значения эти данные уже считаются не хаотичными, а скажем псевдослучайными или даже имеют некую сложную структуру периодов. На спектре автокорреляций все эти периоды выпрыгнут, и чем больше данных, тем лучше это можно заметить. Хаос же он как шум и по частотам. Ну, я бы копал в эту сторону, если неохота ... в Ляпунова. Вляпываться.
Вам принципиален именно Ляпунов?
Спектр, короче, изучайте.

[Oleg Zubelevich]

kappa_t:
1) ваша система интегрируется явно, ее решения сшиваются из решений нескольких линейных систем
2) подозреваю, что при численном моделировании вы не учли, что ДУ с негладкими правыми частями нельзя считать стандартными быстросходящимися алгоритмами, которые зашиты в мат. пакетах.
3)

kappa_t в сообщении #685975 писал(а):

Так вот, решение этих уравнений численным методом позволяет построить карту x-y, на которой можно, при определённых значениях контрольных параметров, наблюдать хаотический аттрактор.

это глупость, "хаос" в конечномерных системах это всегда поведение решений на бесконечном интервале времени (и атрактор кстати тоже) , наблюдать его при численном интегрировании уравнения на конечном интервале времени невозможно

[kappa_t]

Alex_J,
Ляпунов мне не принципиален, я просто хотел уточнить, правильно ли я понял, что скорость расхождения, которую я обнаружил определяется этой самой экспонентой Ляпунова. Автокорреляция - тоже вариант, попробую её посчитать, спасибо!

Oleg Zubelevich,
Правильно ли я понял, что негладкими правые части становятся из-за кусочно-линейной функции? Эту функцию можно заменить гладкой полиномиальной третьей степени, будет ли тогда решение этих уравнений быстросходящимися алгоритмами более точным?
Хаотический атрактор я понимаю как атрактор, на котором две траектории, стартовавшие из соседних точек со временем быстро удаляются друг от друга.

[scwec]

kappa_t в сообщении #686120 писал(а):

Если вы можете мне помочь, просто ткнув носом в книгу или статью, я был бы и тому благодарен.

Возможно, Вам поможет книга Мун Ф. Хаотические колебания. Вводный курс для научных работников и инженеров. 1990.
Книга с уклоном в инженерию, содержит много примеров исследования конкретных систем.

[Munin]

kappa_t в сообщении #686120 писал(а):

В сети не так много информации по ТХ (или я просто плохо ищу)

Вы вот это всё проштудировали? http://kolxo3.tiera.ru/index_old.html#148
Я не знаю, может, для кого-то 80 книг - это "не так много информации"...

-- 20.02.2013 19:53:04 --

Alex_J в сообщении #686136 писал(а):

Хаос же он как шум и по частотам.

Хаос и шум - две вещи ну совершенно разные.

[kappa_t]

scwec,
Спасибо за наводку, как раз надо для "инженера".

Munin,
Вам спасибо за ссылку, много интересной и, будем надеяться, полезной литературы. Говоря про информацию в сети, я как раз не имел в виду литературу, а имел в виду сайты и форумы, где можно увидеть обсуждение темы, а не поверхностный обзор. Что книг и статей по моей теме много, я уже знал.

Я понимаю, что порицать меня, наверное, есть за что, с темой я знаком совсем не близко. Но для этого я сюда и написал, чтобы привлечь людей разбирающихся и готовых к обсуждению, а не для того, чтобы получить список литературы и подзатыльников.

[Munin]

(Оффтоп)

kappa_t в сообщении #686449 писал(а):

Говоря про информацию в сети, я как раз не имел в виду литературу, а имел в виду сайты и форумы

Сеть существует, чтобы скачивать книги и статьи (в том числе обзорные). Всё остальное пена на воде.

Ну ещё, чтобы организовывать распределённые вычисления и перекачку больших данных, но это мало кого касается...

kappa_t в сообщении #686449 писал(а):

Но для этого я сюда и написал, чтобы привлечь людей разбирающихся и готовых к обсуждению, а не для того, чтобы получить список литературы и подзатыльников.

А список литературы (и зачастую подзатыльники) обычно гораздо полезнее, продвигают гораздо быстрее к цели, и направляют на неё гораздо точнее, чем какое-то "обсуждение", пока вы ещё "с темой знакомы совсем не близко"... Впрочем, в вашем случае всё отлично. Одно ваше "спасибо за ссылку" уже говорит достаточно о вашем деловом настрое. Не всё так плохо, как может показаться из слов Oleg Zubelevich.

[kappa_t]

Munin

(Оффтоп)

Пожалуй, вы правы. Спасибо, пойду читать книжки. Если ничего не пойму - вернусь

[Утундрий]

Oleg Zubelevich в сообщении #686138 писал(а):

"хаос" в конечномерных системах это всегда поведение решений на бесконечном интервале времени (и атрактор кстати тоже) , наблюдать его при численном интегрировании уравнения на конечном интервале времени невозможно

Эдвард Лоренц, однако, пронаблюдал.

[Oleg Zubelevich]

Утундрий в сообщении #686952 писал(а):

Oleg Zubelevich в сообщении #686138 писал(а):

"хаос" в конечномерных системах это всегда поведение решений на бесконечном интервале времени (и атрактор кстати тоже) , наблюдать его при численном интегрировании уравнения на конечном интервале времени невозможно

Эдвард Лоренц, однако, пронаблюдал.

что именно пронаблюдал Лоренц на конечном промежутке времени? пожалуйста сформулируйте теорему, дайте определение хаоса в системе Лоренца

[Утундрий]

Oleg Zubelevich в сообщении #686954 писал(а):

что именно пронаблюдал Лоренц на конечном промежутке времени?

ЧЗНУ

[Oleg Zubelevich]

пожалуйста внятно и формально, что конкретно подрадразумевается под "чувствительность к заданию начальных условий" на конечном промежутке времени?