Умение доказывать теоремы

[Daft]

Здравствуйте!
Хочу научиться доказывать теоремы.Посоветуйте литературу,которая помогла бы научиться доказывать теоремы.И скажите,пожалуйста,что нужно делать,чтобы развить этот навык?Короче,хочу услышать советы по развитию этой способности.
Спасибо

[xmaister]

Наверное, любая книга по матлогике подойдет. Посмотрите чуть-чуть Теорию доказательств
И еще:

Xaositect в сообщении #680849 писал(а):

Н. К. Верещагин, А. Шень. Языки и исчисления. http://www.mccme.ru/free-books/shen/she ... art2-2.pdf
А. Н. Колмогоров, А. Г. Драгалин. Математическая логика
Ю. И. Манин. A Course in Mathematical Logic for Mathematicians
С. К. Клини. Введение в метаматематику.

[Xaositect]

Это все немного не то, особенно Клини. Хотя почитать полезно
Для того, чтобы научиться доказывать теоремы, в первую очередь надо пытаться доказывать теоремы. Т.е. представлять основные способы рассуждения (modus ponens, доказательства от противного, индукция, разбор случаев, построение нужных объектов, подбор параметров, что там еще есть) и пытаться их применять. Применять можно на теоремах из учебника - читаете формулировку теоремы, доказательство не читаете, пытаетесь доказать сами. Если за вечер не получилось - читаете первый параграф доказательства и т.д.
Вы школьник или уже студент?

[Daft]

xmaister в сообщении #685747 писал(а):

Наверное, любая книга по матлогике подойдет. Посмотрите чуть-чуть Теорию доказательств
И еще:

Xaositect в сообщении #680849 писал(а):

Н. К. Верещагин, А. Шень. Языки и исчисления. http://www.mccme.ru/free-books/shen/she ... art2-2.pdf
А. Н. Колмогоров, А. Г. Драгалин. Математическая логика
Ю. И. Манин. A Course in Mathematical Logic for Mathematicians
С. К. Клини. Введение в метаматематику.

Спасибо xmaister


Xaositect Спасибо за совет,постараюсь так делать.Я учусь в университете на 1 курсе,к несчастью.Я большую часть своей жизни прожил бессмысленно,но год назад я эволюционировал и решил заняться наукой.Я не учился в мат. классе и не учусь на мат. специальности,просто мне очень нравится математика и хотелось бы,чтобы она стала моей профессией в будущем.

[Xaositect]

Можете еще посмотреть книжку В.Б.Алексеева "Теорема Абеля в задачах и решениях". Там как раз читателю предлагается самому передоказать теорему Абеля.

-- Вт фев 19, 2013 18:19:26 --

Скачать можно с http://mccme.ru/free-books/

[Sonic86]

Daft в сообщении #685737 писал(а):

Хочу научиться доказывать теоремы.

xmaister в сообщении #685747 писал(а):

Наверное, любая книга по матлогике подойдет.

А почему именно по матлогике? Не, ну теорема Геделя, это, конечно, круто, но она там одна, да и довольно сложная. Доказывать теоремы лучше в алгебре, в теории групп, в дискретной математике, в геометрии, в топологии - там везде есть много разных тонкостей в доказательствах. В матлогике доказательства не настолько разнообразны, а описание типов доказательств в матлогике - разве оно там достаточно широко?
Вот берите теорию групп и доказывайте оттуда разные утверждения. Там есть и индукция, и частные случаи, и использование специальных конструкций и доказательства существования (как конструктивные, так и неконструктивные) и изоморфизмы, много необходимых, но не достаточных условий, и доказательства от противного (ну может бесконечного спуска нет) и разные обобщения и сложные контрпримеры (кстати, и в анализе теорем много, та же несчетность $\mathbb{R}$ - диагональный метод Кантора. Где он в матлогике есть?)
ИМХО, конечно
upd: хотя зря я так на матлогику. Диагональный метод там есть в построении функции Аккермана, в универсальных конструкциях. Кстати сами универсальные конструкции - тоже метод доказательства (например, построение NP-полной задачи), а еще там есть примеры построения алгоритмически неразрешимых задач. Хотя это не совсем матлогика, а теория рекурсивных функций, теория алгоритмов.

(Оффтоп)

Манина вообще можно просто ниасилить

[Vince Diesel]

Д. Пойа. "Математика и правдоподобные рассуждения", "Математическое открытие".

[Daft]

Благодарю всех за советы.
Xaositect жаль в письменном виде не найти.
Sonic86 Я как раз читаю матан Зорича. Книга,похоже,не рассчитанна на новичков,т.к там не очень разжевывается материал,а теоремы доказываются непонятным способом.Например разделяют на необходимость и достаточность. Иногда меня очень удивляет доказательства тривиальных утверждений,которые понятны интуитивно,а доказательства их кажутся абсурдными...А доказательства некоторых теорем,например несчетности континуума, содержат не очевидные (спорные)утверждения(скорее всего это я что-то не понимаю).Поэтому и ищу книги,где научили бы математическому мышлению и умению доказывать теоремы.

[Sonic86]

Так, ну непонимание может быть общее, а может быть частное. Вот пример общего:

Daft в сообщении #685801 писал(а):

Например разделяют на необходимость и достаточность.

если не вдаваться в логические тонкости, то для теоремы $A\Leftrightarrow B$ необходимость - это доказательство соотношения $A\Rightarrow B$, а достаточность - это доказательство соотношения $A\Leftarrow B$. Не все теоремы имеют вид $A\Leftrightarrow B$ (например, утверждение "Все дифференцируемые функции непрерывны" - это утверждение только в прямую сторону (необходимость), а достаточность здесь не доказывают - она неверна). Для понимания такого действительно лучше почитать что-нибудь именно по матлогике.

Daft в сообщении #685801 писал(а):

Иногда меня очень удивляет доказательства тривиальных утверждений,которые понятны интуитивно,а доказательства их кажутся абсурдными...

Это нормальное явление, особенно в матанализе (теорема Ролля, например). Просто интуиция частично берется из наблюдений реального мира, который сложен, а математические теории строятся от аксиом к более сложным теоремам. В любом случае, строго говоря, каждое утверждение следует попытаться доказать - это позволяет выявить пробелы, впоследствии быть может обобщить некоторые утверждения, развить точную терминологию. Интуиция и способность доказывать - 2 разнородных способа позволяющих достигать истины. В разных разделах со строгостью все обстоит по разному. В матанализе сильно строго доказывать не получается - довольно муторно и длинно.

Daft в сообщении #685801 писал(а):

А доказательства некоторых теорем,например несчетности континуума, содержат не очевидные (спорные)утверждения(скорее всего это я что-то не понимаю).

В плане доказательства там все просто: рассуждение от противного. Если же здесь что-то специфичное непонятно, то нужно разбираться конкретно с этим. Вам помогут разобраться здесь.

[Munin]

(Оффтоп)

Daft в сообщении #685764 писал(а):

Я учусь в университете на 1 курсе,к несчастью.Я большую часть своей жизни прожил бессмысленно

Да ладно. Школа и университет - это ещё не жизнь. Это так, внутриутробное существование. Жизнь можете отсчитывать от того момента, как у вас появится научный руководитель.

[mihailm]

Все предложенные выше книги предназначены для лиц которые учились и интересовались ранее математикой, для вас Daft, не понимающего что такое доказательство они не очень пригодны. Понятие доказательства появляется в школе в 7 классе в геометрии, после того как вводятся аксиомы, можете начать оттуда. А вообще предлагается забить на доказательства и решать побольше задач и будет вам счастье, а что такое доказательство позже поймете

[Esp_]

Согласен с Sonic86 : тут все от области зависит.
"Доказывать теоремы" - это чуть более чем ни о чем. Нужно смотреть на конкретную область, в дискретной математике одна специфика, в геометрии - другая. Есть теоремы - их не могли доказать десятки лет, а аппаратом располагали. Какие-то знания - это еще не все. Математическое чутье нужно.