Аксиоматическая теория

[xmaister]

Добрый вечер. Помогите разобраться в следующих понятиях: что такое акстомы и аксиоматическая теория формально? Написан, что аксиоматическая теория- набор (множество?) утверждений, которые строятся из некоторых атомарных утверждений навешиванием кванторов. Утверждние называется атомарным, если все переменные- свободны. Что такое переменные и какое определение свободной переменной? Получается, что акиомы- подмножество множества утверждений теории . Прчему все утверждения теории образуют множество и как вообще работать с мнодествами или уже $ZFC$ считаем построеным?

-- 06.02.2013, 20:39 --

З.Ы. Не могли бы вы посоветовать литературу, которая быстро поможет войти в курс дела?

[Xaositect]

Аксиоматическая теория задается аксиомами и правилами вывода. Вообще говоря, они могут быть любыми, то, о чем говорите Вы, это наиболее распространенный частный случай - теории первого порядка.
По поводу множества утверждений. Аксиоматическая теория в математической логике выступает как объект изучения, то есть мы изучаем аксиоматическую теорию с помощью некоторой метатеории. Так вот, понятие "множество утверждений теории" принадлежит метатеории. Иногда теория может выступать как метатеория по отношению к самой себе, как, например, аксиоматические теории множеств или арифметика в доказательстве теоремы Геделя.

Н. К. Верещагин, А. Шень. Языки и исчисления. http://www.mccme.ru/free-books/shen/she ... art2-2.pdf
А. Н. Колмогоров, А. Г. Драгалин. Математическая логика
Ю. И. Манин. A Course in Mathematical Logic for Mathematicians
С. К. Клини. Введение в метаматематику.