Степень матрицы

[bright]

Подскажите, пожалуйста, как записать степень произвольной вещественной матрицы через ее собственные числа? Есть подозрения, что нужно использовать многочлен Лагранжа-Сильвестра, но что-то никак не соображу как его применить.

[мат-ламер]

Приводите матрицу к жорд. норм. форме. Затем каждую клетку возводите в степень. Подробности можно посмотреть, например, у Гантмахера "Теория матриц".

[bright]

Ok. А не подскажите, как будет выглядеть жорданова клетка для комплексных собственных чисел?

[мат-ламер]

bright в сообщении #685609 писал(а):

Ok. А не подскажите, как будет выглядеть жорданова клетка для комплексных собственных чисел?

Эти числа будут идти на диагонали. Над нею - единицы.

[ИСН]

То есть точно так же, как для обычных.
Другое дело, если Вы хотите зачем-то (зачем?) слепить две клетки с комплексно сопряжёнными с.з. в одну, чтобы там стояли только действительные, но...

[bright]

Да, видел где-то такую запись жордановой клетки для комплексно сопряженных чисел. Именно о ней и спрашивал.
Мне дальше нужно будет переходить к границе от матрицы в степени, поэтому хочу записать все через действительные числа.

[ИСН]

Не понял, к чему нужно переходить и как этому помогут действительные числа, но в двух словах так. Это будет не жорданова уже форма, а Ваша собственная. В простом случае она будет выглядеть так же, как обычная матрица 2 на 2, у которой комплексные с.з., например $\begin{pmatrix}1&1\\-1&1\end{pmatrix}$. Как такую клетку возводить в степень - не знаю. (Не конкретно эту - эту-то просто - а вообще.) Как будет в случае кратных корней - тоже не знаю.

[bright]

В конечном счете мне нужно найти $\lim_{N \to \infty}A^N$. Я хочу записать эту степень матрицы как многочлен с матричными коэффициентами от собственных чисел и перейти к пределу от него.

[ИСН]

Ну хорошо, а чем тут поможет запись через действительные числа?
И, надо полагать, природа задачи гарантирует, что у Вас все с.з. по модулю не превосходят 1?

[bright]

Да, собственные числа будут меньше 1.
Может я ошибаюсь, но кажется, что например такого предела не существует:
$\lim_{N \to \infty}(0.1+0.2i)^N$
Т.е. если записывать комплексные собственные числа непосредственно, то предел найти не получится.

[ИСН]

Хитрая штука эти пределы: так вроде не существует, а запишешь немного по-другому - тогда существует, что ли?
Вы про тригонометрическую форму записи комплексных чисел (через модуль и фазу) слышали, например?

[bright]

Т.е. $\lim_{N \to \infty} r^N(\cos(Nx)+i\sin(Nx)) $=0 при $r<1$?

[ИСН]

Именно!

[bright]

Отлично!
Спасибо большое. Буду пробовать.