Нетеровость модуля в точной последовательности

[xmaister]

Добрый день! Вроде утверждение простое, но что-то не могу сообразить. Пусть задана короткая точная последовательность

$$\xymatrix{0\ar[r]&M'\ar[r]&M\ar[r]&M''\ar[r]&0}$$

$A$-модулей, причем $M'$ и $M''$- нетеровы, тогда $M$- нетеров. Я хотел так рассуждать: Рассмотрим строго возрастающую цепочку подмодулей $L_1\subset L_2\subset\ldots\subset L_k\subset\ldots$, т.ч. $L_i\ne M'$ для всех $i\in\mathbb{N}$ и хотелось бы доказать, что существует $k\in\mathbb{N}$, что $L_1+M'\ne L_k+M'$. Тогда бы сразу вышел на противоречие. Это вроде ясно, но как доказать не ясно. Дайте, пожалуйста, на водку.

[AV_77]

Пусть $N$ - подмодуль. Тогда $N \cap M'$ и $(N + M') / M' \simeq N / (N \cap M')$ конечно порождены.

[xmaister]

AV_77
Понятно, я как-то упустил из виду этот изоморфизм. Спасибо! А можно ли в лоб доказать, что, если $L_1\subset L_2\subset\ldots\subset L_k\subset\ldots$- возрастающая цепочка подмодулей т.ч. $M'\not\subset L_i$, тогда существует $k\in\mathbb{N}$, такое что $L_1+M'\ne L_k+M'$?

[AV_77]

Тоже к факторам перейти. Получим в $M''$ последовательность $(L_1 + M') / M' \subset (L_2 + M') / M' \subset \ldots$, которая должна обрываться.

[xmaister]

AV_77 в сообщении #685417 писал(а):

$(L_1 + M') / M' \subset (L_2 + M') / M' \subset \ldots$

Так из того $L_1\subset L_2$ строго не следует, что $(L_1 + M') / M' \subset (L_2 + M') / M'$ строго. Если бы эти модули содержались в $M'$ то да, там взаимно однозанчное соответствие, сохраняющее включение.

[AV_77]

Что-то сложное получается, наверное можно проще. Но вроде нигде не напутал.

Если $L_1 \subset L_2 \subset \ldots$, то $M' \subset L_1 + M' \subset L_2 + M' \subset \ldots$ Переходя к факторам получим
$0 \subset (L_1 + M') / M' \subset (L_2 + M') / M' \subset \ldots$
Эта последовательность должна обрываться, например, на $k$-м месте. Тогда (так здесь взаимно однозначное соответствие)
$L_k + M' = L_{k+1} + M' = \ldots$
Отсюда $L_r = L_k + (L_r \cap M')$ для $r > k$. Ну а последовательность $L_{k+1} \cap M' \subset L_{k+2} \cap M' \subset \ldots$ обрывается.

[xmaister]

AV_77 в сообщении #685475 писал(а):

Отсюда $L_r = L_k + (L_r \cap M')$ для $r > k$.

В упор не понимаю, как это получается. Если $L_1\cap M'=L_2\cap M'$, то $L_1+M'\subset L_2+M'$ строго, но я все равно здесь использовал тот канонический изоморфизм

[AV_77]

Пусть $L_k + M' = L_r + M'$. Из $L_k \subset L_r$ следует, что $L_k + (L_r \cap M') \subseteq L_r$. С другой стороны, пусть $l_r \in L_r$. Тогда $l_r \in L_r + M' = L_k + M'$, то есть $l_r = l_k + m$, где $l_k \in L_k$ и $m \in M'$. Отсюда $m = l_r - l_k \in L_r \cap M'$. Следовательно, $l_r \in L_k + (L_r \cap M')$.