2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




 
 Кольцо с идеалом
Сообщение17.02.2013, 20:05 
Аватара пользователя
Пусть кольцо $A$- конечно порождено как $A$-модуль и $\mathfrak{a}\subset A$- идеал. Всегда ли $\mathfrak{a}$ конечно порожден как $\mathfrak{a}$-модуль?

 
 
 
 Re: Кольцо с идеалом
Сообщение17.02.2013, 20:22 
Любое кольцо $A$ [с единицей] конечно порождено как $A$-модуль. Не любой идеал $\mathfrak{a}$ кольца $A$ конечно порожден как $A$-модуль (и уж тем более, как $\mathfrak{a}$-модуль), если $A$ не является нетеровым.

 
 
 
 Re: Кольцо с идеалом
Сообщение17.02.2013, 20:28 
Аватара пользователя
apriv в сообщении #685081 писал(а):
если $A$ не является нетеровым.

А если $A$- нетерово, то будет ли идеал конечно порожденным модулем над самим собой? Из определения нетеровости вроде этого не следует. Есть ли нетерово кольцо, идеал которого не является нетеровым колцом?

 
 
 
 Re: Кольцо с идеалом
Сообщение17.02.2013, 20:33 
xmaister в сообщении #685085 писал(а):
А если $A$- нетерово, то будет ли идеал конечно порожденным модулем над самим собой?

Не обязательно. Все элементы линейной комбинации $\sum a_ix_i$ при $a_i,x_i\in\mathfrak{a}$ лежат в $\mathfrak{a}^2$, который может быть строго меньше, чем $\mathfrak{a}$.

 
 
 
 Re: Кольцо с идеалом
Сообщение17.02.2013, 20:46 
Аватара пользователя
apriv
действительно! Спасибо!

 
 
 [ Сообщений: 5 ] 


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group