Кольцо с идеалом

[xmaister]

Пусть кольцо $A$- конечно порождено как $A$-модуль и $\mathfrak{a}\subset A$- идеал. Всегда ли $\mathfrak{a}$ конечно порожден как $\mathfrak{a}$-модуль?

[apriv]

Любое кольцо $A$ [с единицей] конечно порождено как $A$-модуль. Не любой идеал $\mathfrak{a}$ кольца $A$ конечно порожден как $A$-модуль (и уж тем более, как $\mathfrak{a}$-модуль), если $A$ не является нетеровым.

[xmaister]

apriv в сообщении #685081 писал(а):

если $A$ не является нетеровым.

А если $A$- нетерово, то будет ли идеал конечно порожденным модулем над самим собой? Из определения нетеровости вроде этого не следует. Есть ли нетерово кольцо, идеал которого не является нетеровым колцом?

[apriv]

xmaister в сообщении #685085 писал(а):

А если $A$- нетерово, то будет ли идеал конечно порожденным модулем над самим собой?

Не обязательно. Все элементы линейной комбинации $\sum a_ix_i$ при $a_i,x_i\in\mathfrak{a}$ лежат в $\mathfrak{a}^2$, который может быть строго меньше, чем $\mathfrak{a}$.

[xmaister]

apriv
действительно! Спасибо!